Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen (x^2

Determinan matriks fungsi dan fungsi inversnya adalah sama, yaitu $ad-bc$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen $(x^2 - 9x + 19)^{2x+3} = (x^2 - 9x + 19)^{x-1}$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus.

Misalkan basisnya adalah $B = x^2 - 9x + 19$. Maka persamaannya menjadi $B^{2x+3} = B^{x-1}$.

Kasus 1: Basis sama dengan 1.
Jika $B = 1$, maka $1^{2x+3} = 1^{x-1}$, yang selalu benar ($1=1$).
$x^2 - 9x + 19 = 1$
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x-3)(x-6) = 0$
Maka, $x=3$ atau $x=6$.

Kasus 2: Basis sama dengan -1.
Jika $B = -1$, maka $(-1)^{2x+3} = (-1)^{x-1}$. Persamaan ini berlaku jika kedua eksponen memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil).
$x^2 - 9x + 19 = -1$
$x^2 - 9x + 20 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x-4)(x-5) = 0$
Maka, $x=4$ atau $x=5$.

Sekarang kita periksa paritas eksponen untuk $x=4$ dan $x=5$:
Jika $x=4$:
Eksponen 1: $2x+3 = 2(4)+3 = 8+3 = 11$ (ganjil)
Eksponen 2: $x-1 = 4-1 = 3$ (ganjil)
Karena kedua eksponen ganjil, maka $(-1)^{11} = (-1)^3$, yaitu $-1 = -1$. Jadi, $x=4$ adalah solusi.

Jika $x=5$:
Eksponen 1: $2x+3 = 2(5)+3 = 10+3 = 13$ (ganjil)
Eksponen 2: $x-1 = 5-1 = 4$ (genap)
Karena eksponen memiliki paritas yang berbeda, maka $(-1)^{13} 
eq (-1)^4$. Jadi, $x=5$ bukan solusi.

Kasus 3: Basis sama dengan 0.
Jika $B = 0$, maka $0^{2x+3} = 0^{x-1}$. Persamaan ini berlaku jika kedua eksponen positif.
$x^2 - 9x + 19 = 0$
Gunakan rumus kuadratik $x = [-b 
The

$rac{ax+b}{cx+d}$, maka $ad-bc$ adalah determinan matriks $egin{pmatrix} a & b \ c & d 
$

$rac{ax+b}{cx+d}$ adalah fungsi rasional.

Untuk mencari invers dari fungsi rasional $f(x) = rac{ax+b}{cx+d}$, kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:
1. Ganti $f(x)$ dengan $y$: $y = rac{ax+b}{cx+d}$.
2. Tukar $x$ dan $y$: $x = rac{ay+b}{cy+d}$.
3. Selesaikan persamaan untuk $y$ dalam bentuk $x$.
   $x(cy+d) = ay+b$
   $cxy + dx = ay + b$
   $cxy - ay = b - dx$
   $y(cx - a) = b - dx$
   $y = rac{b - dx}{cx - a}$
   $y = rac{-(dx - b)}{cx - a}$
   $y = rac{dx - b}{a - cx}$

Jadi, invers dari $f(x) = rac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x) = rac{-dx+b}{cx-a}$ atau $f^{-1}(x) = rac{dx-b}{a-cx}$.

Determinan dari matriks $egin{pmatrix} a & b \ c & d 

$
$rac{ax+b}{cx+d}$ adalah $ad-bc$.

Mari kita periksa determinan dari matriks yang merepresentasikan fungsi invers:
Untuk $f^{-1}(x) = rac{-dx+b}{cx-a}$, matriksnya adalah $egin{pmatrix} -d & b \ c & -a 
$
Determinan = $(-d)(-a) - (b)(c) = ad - bc$.

Untuk $f^{-1}(x) = rac{dx-b}{a-cx}$, matriksnya adalah $egin{pmatrix} d & -b \ -c & a 
$
Determinan = $(d)(a) - (-b)(-c) = ad - bc$.

Dalam kedua kasus, determinan dari matriks fungsi invers sama dengan determinan dari matriks fungsi aslinya.

Jadi, $ad-bc$ adalah determinan dari matriks yang berhubungan dengan fungsi rasional $f(x) = rac{ax+b}{cx+d}$, dan determinan ini tetap sama untuk fungsi inversnya.