Diketahui barisan 2, 5, 10, 17, ... Rumus suku ke-n dari

Rumus suku ke-n dari barisan 2, 5, 10, 17, ... adalah U_n = n^2 + 1.

Pembahasan

Diberikan barisan 2, 5, 10, 17, ... Mari kita analisis polanya:
Selisih antara suku-suku berurutan:
5 - 2 = 3
10 - 5 = 5
17 - 10 = 7

Perhatikan bahwa selisihnya membentuk barisan aritmatika: 3, 5, 7, ... dengan beda 2.
Ini menunjukkan bahwa rumus suku ke-n adalah polinomial berderajat 2, yaitu berbentuk U_n = an^2 + bn + c.
Untuk mencari nilai a, b, dan c, kita bisa gunakan beberapa suku pertama:
Untuk n=1: U_1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 2
Untuk n=2: U_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 5
Untuk n=3: U_3 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c = 10

Mengurangkan persamaan pertama dari kedua: (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - 2 => 3a + b = 3
Mengurangkan persamaan kedua dari ketiga: (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 10 - 5 => 5a + b = 5

Mengurangkan persamaan (3a + b = 3) dari (5a + b = 5): (5a + b) - (3a + b) = 5 - 3 => 2a = 2 => a = 1.
Substitusikan a=1 ke 3a + b = 3: 3(1) + b = 3 => 3 + b = 3 => b = 0.
Substitusikan a=1 dan b=0 ke a + b + c = 2: 1 + 0 + c = 2 => c = 1.

Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = 1*n^2 + 0*n + 1 = n^2 + 1.

Mari kita cek dengan pilihan yang diberikan:
a. U_n = n^2 + 1
Untuk n=1: U_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 (Cocok)
Untuk n=2: U_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 (Cocok)
Untuk n=3: U_3 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 (Cocok)
Untuk n=4: U_4 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17 (Cocok)

Oleh karena itu, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah U_n = n^2 + 1.