Jika lingkaran L=x^2+y^2=rx+ry+r mempunyai jari-jari r,

Nilai r adalah 2.

Pembahasan

Persamaan umum lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.

Kita diberikan persamaan lingkaran L = x^2 + y^2 = rx + ry + r.

Untuk mengubahnya ke bentuk standar, kita perlu melengkapkan kuadrat.
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
x^2 - rx + y^2 - ry - r = 0

Lengkapi kuadrat untuk x:
x^2 - rx + (r/2)^2 - (r/2)^2
(x - r/2)^2 - r^2/4

Lengkapi kuadrat untuk y:
y^2 - ry + (r/2)^2 - (r/2)^2
(y - r/2)^2 - r^2/4

Substitusikan kembali ke persamaan:
(x - r/2)^2 - r^2/4 + (y - r/2)^2 - r^2/4 - r = 0

(x - r/2)^2 + (y - r/2)^2 = r^2/4 + r^2/4 + r
(x - r/2)^2 + (y - r/2)^2 = 2r^2/4 + r
(x - r/2)^2 + (y - r/2)^2 = r^2/2 + r

Bandingkan dengan bentuk standar (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2, di mana R adalah jari-jari.
Dalam kasus ini, jari-jari lingkaran adalah R, dan kita diberikan bahwa jari-jarinya adalah r.

Jadi, R^2 = r^2/2 + r
Karena jari-jari lingkaran adalah r, maka R = r, sehingga R^2 = r^2.

Kita punya:
r^2 = r^2/2 + r

Sekarang, kita selesaikan untuk r:
Kurangi r^2/2 dari kedua sisi:
r^2 - r^2/2 = r
(2r^2 - r^2)/2 = r
r^2/2 = r

Kalikan kedua sisi dengan 2:
r^2 = 2r

Pindahkan 2r ke sisi kiri:
r^2 - 2r = 0
Faktorkan r:
r(r - 2) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi: r = 0 atau r - 2 = 0, yang berarti r = 2.

Karena jari-jari lingkaran tidak mungkin nol (lingkaran akan menjadi satu titik), maka nilai r yang memenuhi adalah r = 2.