Jika lingkaran x^2+y^2-ax+by-c=0 yang berpusat di titik

17

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan informasi tentang pusat lingkaran dan garis singgungnya.

Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 - ax + by - c = 0
Pusat lingkaran (-g, -f) = (-2, 1). Dari sini kita dapatkan:
-g = -2 => g = 2
-f = 1 => f = -1

Persamaan umum lingkaran juga dapat ditulis sebagai (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, di mana (h,k) adalah pusat. Jadi, pusatnya adalah (-2, 1).

Dari persamaan umum x^2 + y^2 - ax + by - c = 0, kita tahu bahwa:
-a = 2*h => -a = 2*(-2) => -a = -4 => a = 4
b = 2*k => b = 2*(1) => b = 2

Sekarang kita tahu a=4 dan b=2. Persamaan lingkaran menjadi x^2 + y^2 - 4x + 2y - c = 0.

Lingkaran menyinggung garis y = 2x - 5. Ini berarti jarak dari pusat lingkaran (-2, 1) ke garis 2x - y - 5 = 0 adalah sama dengan jari-jari (r).

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah: d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).

Dalam kasus ini, (x0, y0) = (-2, 1), A = 2, B = -1, dan C = -5.

r = |2*(-2) + (-1)*(1) - 5| / sqrt(2^2 + (-1)^2)

r = |-4 - 1 - 5| / sqrt(4 + 1)

r = |-10| / sqrt(5)

r = 10 / sqrt(5)

Kita juga tahu bahwa jari-jari kuadrat (r^2) dari persamaan x^2 + y^2 - ax + by - c = 0 adalah r^2 = g^2 + f^2 + c. Kita punya g=2 dan f=-1.

r^2 = (10 / sqrt(5))^2 = 100 / 5 = 20

Jadi, 20 = 2^2 + (-1)^2 + c
20 = 4 + 1 + c
20 = 5 + c
c = 20 - 5
c = 15

Sekarang kita punya nilai a=4, b=2, dan c=15.

Kita perlu mencari nilai (a - b + c):

a - b + c = 4 - 2 + 15

a - b + c = 2 + 15

a - b + c = 17

Jadi, nilai (a - b + c) adalah 17.