Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x^3+2x+1 yang

Persamaan garis singgungnya adalah $y=5x-1$ dan $y=5x+3$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^3+2x+1$ yang sejajar dengan garis $y-5x+15=0$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Cari gradien garis singgung:** Garis $y-5x+15=0$ dapat ditulis ulang menjadi $y=5x-15$. Gradien garis ini adalah $m=5$. Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m=5$.

2. **Cari turunan pertama kurva:** Turunan pertama dari $y=x^3+2x+1$ adalah $rac{dy}{dx} = 3x^2+2$. Gradien garis singgung pada suatu titik di kurva sama dengan nilai turunan pertama pada titik tersebut.

3. **Samakan gradien turunan dengan gradien garis singgung:** $3x^2+2 = 5$
   $3x^2 = 3$
   $x^2 = 1$
   $x = f{1}$ atau $x = f{-1}$.

4. **Cari nilai y pada titik singgung:**
   Jika $x = 1$, maka $y = (1)^3+2(1)+1 = 1+2+1 = 4$. Titik singgungnya adalah (1, 4).
   Jika $x = -1$, maka $y = (-1)^3+2(-1)+1 = -1-2+1 = -2$. Titik singgungnya adalah (-1, -2).

5. **Tentukan persamaan garis singgung:** Gunakan rumus $y-y_1 = m(x-x_1)$.
   Untuk titik (1, 4): $y-4 = 5(x-1)$
      $y-4 = 5x-5$
      $y = 5x-1$.
   Untuk titik (-1, -2): $y-(-2) = 5(x-(-1))$
      $y+2 = 5(x+1)$
      $y+2 = 5x+5$
      $y = 5x+3$.

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y=x^3+2x+1$ yang sejajar dengan garis $y-5x+15=0$ adalah $y=5x-1$ dan $y=5x+3$.