Jika M adalah matriks sehingga M x (a b c d)=(a+c b+d -c

Determinan matriks M adalah -1.

Pembahasan

Diketahui matriks M dikalikan dengan matriks $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ menghasilkan matriks $\begin{pmatrix} a+c & b+d \ -c & -d \end{pmatrix}$.
Misalkan matriks M adalah $\begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix}$.
Maka perkalian matriksnya adalah:
$\begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} pa+qc & pb+qd \ ra+sc & rb+sd \end{pmatrix}$

Kita samakan hasil perkalian ini dengan matriks hasil yang diberikan:
$\begin{pmatrix} pa+qc & pb+qd \ ra+sc & rb+sd \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \ -c & -d \end{pmatrix}$

Dari kesamaan elemen-elemen matriks, kita dapatkan sistem persamaan:
1. $pa + qc = a + c$
2. $pb + qd = b + d$
3. $ra + sc = -c$
4. $rb + sd = -d$

Untuk menemukan matriks M, kita perlu mencari nilai p, q, r, dan s. Kita bisa mencoba mencocokkan bentuknya. Jika kita memilih matriks M sedemikian rupa sehingga perkaliannya menghasilkan transformasi yang diinginkan, kita bisa mencoba:
M = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Mari kita periksa perkaliannya:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(a)+(1)(c) & (1)(b)+(1)(d) \ (-1)(a)+(0)(c) & (-1)(b)+(0)(d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \ -a & -b \end{pmatrix}$
Hasil ini belum sesuai dengan $\begin{pmatrix} a+c & b+d \ -c & -d \end{pmatrix}$.

Mari kita coba M = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(a)+(0)(c) & (1)(b)+(0)(d) \ (1)(a)+(-1)(c) & (1)(b)+(-1)(d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \ a-c & b-d \end{pmatrix}$
Hasil ini juga belum sesuai.

Mari kita perhatikan transformasi kolom dari matriks hasil:
Kolom pertama: $(a+c, -c)$.
Kolom kedua: $(b+d, -d)$.
Ini terlihat seperti kombinasi linear dari kolom asli $(a, c)$ dan $(b, d)$.
Misalkan M = $\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$.
Menerapkan M pada vektor kolom $\begin{pmatrix} a \ c \end{pmatrix}$ menghasilkan $\begin{pmatrix} m_{11}a + m_{12}c \ m_{21}a + m_{22}c \end{pmatrix}$.
Kita ingin hasil ini sama dengan $\begin{pmatrix} a+c \ -c \end{pmatrix}$.
Maka:
$m_{11}a + m_{12}c = a+c 
 \implies m_{11} = 1, m_{12} = 1$
$m_{21}a + m_{22}c = -c 
 \implies m_{21} = 0, m_{22} = -1$

Jadi, matriks M adalah $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Sekarang kita verifikasi dengan kolom kedua:
Menerapkan M pada vektor kolom $\begin{pmatrix} b \ d \end{pmatrix}$ menghasilkan $\begin{pmatrix} m_{11}b + m_{12}d \ m_{21}b + m_{22}d \end{pmatrix}$.
Kita ingin hasil ini sama dengan $\begin{pmatrix} b+d \ -d \end{pmatrix}$.
Dengan $m_{11}=1, m_{12}=1, m_{21}=0, m_{22}=-1$:
$(1)b + (1)d = b+d$ (Benar)
$(0)b + (-1)d = -d$ (Benar)

Jadi, matriks M adalah $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Determinan matriks M adalah:
det(M) = $(1)(-1) - (1)(0)$
det(M) = $-1 - 0$
det(M) = $-1$

Jadi, determinan matriks M adalah -1.