Tentukan akar-akar rasional yang mungkin dari:

Akar-akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar rasional yang mungkin dari persamaan polinomial 6x^4 + 35x^3 - x^2 - 7x - 1 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional.

Teorema Akar Rasional menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap akar rasional p/q (dalam bentuk paling sederhana) harus memenuhi syarat bahwa p adalah faktor dari konstanta suku (yaitu, -1) dan q adalah faktor dari koefisien utama (yaitu, 6).

Mari kita identifikasi faktor-faktor dari konstanta suku (-1) dan koefisien utama (6).

Faktor-faktor dari konstanta suku (-1) adalah: p = ±1.
Faktor-faktor dari koefisien utama (6) adalah: q = ±1, ±2, ±3, ±6.

Sekarang, kita dapat membentuk semua kemungkinan nilai dari p/q:

p/q = ±1/±1, ±1/±2, ±1/±3, ±1/±6

Jadi, akar-akar rasional yang mungkin adalah:
±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6.

Untuk memverifikasi akar-akar ini, kita perlu mensubstitusikan setiap nilai ke dalam persamaan asli dan melihat apakah hasilnya adalah nol. Namun, pertanyaan ini hanya meminta akar-akar rasional yang *mungkin*, bukan akar-akar yang sebenarnya.

Mari kita uji beberapa nilai:
Untuk x = 1:
6(1)^4 + 35(1)^3 - (1)^2 - 7(1) - 1 = 6 + 35 - 1 - 7 - 1 = 32 ≠ 0

Untuk x = -1:
6(-1)^4 + 35(-1)^3 - (-1)^2 - 7(-1) - 1 = 6 - 35 - 1 + 7 - 1 = -24 ≠ 0

Untuk x = -1/6:
6(-1/6)^4 + 35(-1/6)^3 - (-1/6)^2 - 7(-1/6) - 1
= 6(1/1296) + 35(-1/216) - (1/36) + 7/6 - 1
= 1/216 - 35/216 - 6/216 + 252/216 - 216/216
= (1 - 35 - 6 + 252 - 216) / 216
= (253 - 257) / 216
= -4 / 216 ≠ 0

Untuk x = -1/3:
6(-1/3)^4 + 35(-1/3)^3 - (-1/3)^2 - 7(-1/3) - 1
= 6(1/81) + 35(-1/27) - (1/9) + 7/3 - 1
= 6/81 - 35/27 - 1/9 + 7/3 - 1
= 2/27 - 35/27 - 3/27 + 63/27 - 27/27
= (2 - 35 - 3 + 63 - 27) / 27
= (65 - 65) / 27 = 0 / 27 = 0.

Jadi, x = -1/3 adalah salah satu akar rasionalnya.

Karena x = -1/3 adalah akar, maka (3x + 1) adalah faktor dari polinomial tersebut.
Kita dapat melakukan pembagian polinomial untuk menemukan faktor lainnya.

(6x^4 + 35x^3 - x^2 - 7x - 1) / (3x + 1)

Menggunakan pembagian sintetik atau pembagian panjang:

```
        2x^3 + 11x^2 - 4x  - 1
      ____________________
3x+1 | 6x^4 + 35x^3 -  x^2 -  7x - 1
      -(6x^4 +  2x^3)
      ____________________
             33x^3 -  x^2
            -(33x^3 + 11x^2)
            ____________________
                   -12x^2 -  7x
                  -(-12x^2 -  4x)
                  ____________________
                         -3x - 1
                        -(-3x - 1)
                        __________
                               0
```

Hasil bagi adalah 2x^3 + 11x^2 - 4x - 1.
Sekarang kita perlu mencari akar rasional dari 2x^3 + 11x^2 - 4x - 1 = 0.

Faktor dari konstanta suku (-1) adalah ±1.
Faktor dari koefisien utama (2) adalah ±1, ±2.
Akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±1/2.

Kita sudah tahu x = -1/3 bukan akar dari polinomial ini karena kita membaginya.

Mari kita uji nilai dari ±1, ±1/2 pada 2x^3 + 11x^2 - 4x - 1 = 0.

Untuk x = 1:
2(1)^3 + 11(1)^2 - 4(1) - 1 = 2 + 11 - 4 - 1 = 8 ≠ 0.

Untuk x = -1:
2(-1)^3 + 11(-1)^2 - 4(-1) - 1 = -2 + 11 + 4 - 1 = 12 ≠ 0.

Untuk x = 1/2:
2(1/2)^3 + 11(1/2)^2 - 4(1/2) - 1
= 2(1/8) + 11(1/4) - 2 - 1
= 1/4 + 11/4 - 3
= 12/4 - 3
= 3 - 3 = 0.

Jadi, x = 1/2 adalah akar rasional lainnya.
Ini berarti (2x - 1) adalah faktor dari 2x^3 + 11x^2 - 4x - 1.

Mari kita bagi 2x^3 + 11x^2 - 4x - 1 dengan (2x - 1):

```
        x^2 + 6x + 1
      _____________
2x-1 | 2x^3 + 11x^2 - 4x - 1
     -(2x^3 -  x^2)
     _____________
            12x^2 - 4x
           -(12x^2 - 6x)
           _____________
                  2x - 1
                 -(2x - 1)
                 ________
                        0
```

Hasil bagi adalah x^2 + 6x + 1.

Sekarang kita perlu mencari akar dari x^2 + 6x + 1 = 0 menggunakan rumus kuadrat:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [-6 ± sqrt(6^2 - 4(1)(1))] / 2(1)
x = [-6 ± sqrt(36 - 4)] / 2
x = [-6 ± sqrt(32)] / 2
x = [-6 ± 4*sqrt(2)] / 2
x = -3 ± 2*sqrt(2)

Akar-akar ini adalah bilangan irasional, bukan rasional.

Jadi, akar-akar rasional yang ditemukan adalah -1/3 dan 1/2.

Kembali ke pertanyaan: "Tentukan akar-akar rasional yang mungkin".
Akar-akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6. Setelah pengujian, kita menemukan bahwa -1/3 dan 1/2 adalah akar rasionalnya.