Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Jika matrik A=(1 4 2 3) dan I=(1 0 0 1) memenuhi persamaan
Pertanyaan
Jika matriks A = (1 4 \\ 2 3) dan I = (1 0 \\ 0 1) memenuhi persamaan A² = pA + qI, maka p-q=....
Solusi
Verified
Nilai p-q adalah -1.
Pembahasan
Diberikan persamaan matriks $A^2 = pA + qI$, di mana $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Langkah 1: Hitung $A^2$. $A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ $A^2 = \begin{pmatrix} (1 \times 1) + (4 \times 2) & (1 \times 4) + (4 \times 3) \\ (2 \times 1) + (3 \times 2) & (2 \times 4) + (3 \times 3) \end{pmatrix}$ $A^2 = \begin{pmatrix} 1 + 8 & 4 + 12 \\ 2 + 6 & 8 + 9 \end{pmatrix}$ $A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{pmatrix}$ Langkah 2: Hitung $pA$ dan $qI$. $pA = p \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & 4p \\ 2p & 3p \end{pmatrix}$ $qI = q \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$ Langkah 3: Substitusikan ke dalam persamaan $A^2 = pA + qI$. $\begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & 4p \\ 2p & 3p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p+q & 4p \\ 2p & 3p+q \end{pmatrix}$ Langkah 4: Samakan elemen-elemen matriks untuk mendapatkan persamaan. Dari elemen (1,2): $16 = 4p \implies p = \frac{16}{4} = 4$. Dari elemen (2,1): $8 = 2p \implies p = \frac{8}{2} = 4$. Nilai p konsisten, yaitu $p=4$. Sekarang gunakan nilai p untuk mencari q dari elemen lain. Dari elemen (1,1): $9 = p + q 9 = 4 + q q = 9 - 4 = 5$. Dari elemen (2,2): $17 = 3p + q 17 = 3(4) + q 17 = 12 + q q = 17 - 12 = 5$. Nilai q konsisten, yaitu $q=5$. Langkah 5: Hitung $p-q$. $p-q = 4 - 5 = -1$. Jadi, nilai $p-q$ adalah -1.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Matriks
Section: Operasi Matriks, Persamaan Matriks
Apakah jawaban ini membantu?