Jika nilai lim _(x -> 3)

a=1, b=7

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita langsung mensubstitusikan x=3, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika \lim_{x\to c} f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan \lim_{x\to c} f'(x)/g'(x).

Langkah 1: Tentukan turunan dari pembilang dan penyebut.
Pembilang: f(x) = \sqrt{x+a} - \sqrt{b-x}
f'(x) = d/dx(\sqrt{x+a}) - d/dx(\sqrt{b-x})
f'(x) = 1/(2\sqrt{x+a}) - (1/(2\sqrt{b-x}))*(-1)
f'(x) = 1/(2\sqrt{x+a}) + 1/(2\sqrt{b-x})

Penyebut: g(x) = \sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}
g'(x) = d/dx(\sqrt{x-2}) - d/dx(\sqrt{4-x})
g'(x) = 1/(2\sqrt{x-2}) - (1/(2\sqrt{4-x}))*(-1)
g'(x) = 1/(2\sqrt{x-2}) + 1/(2\sqrt{4-x})

Langkah 2: Terapkan aturan L'Hopital.
\lim_{x\to 3} (1/(2\sqrt{x+a}) + 1/(2\sqrt{b-x})) / (1/(2\sqrt{x-2}) + 1/(2\sqrt{4-x})) = 1/2

Langkah 3: Substitusikan x=3 ke dalam persamaan.
(1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{b-3})) / (1/(2\sqrt{3-2}) + 1/(2\sqrt{4-3})) = 1/2
(1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{b-3})) / (1/(2\sqrt{1}) + 1/(2\sqrt{1})) = 1/2
(1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{b-3})) / (1/2 + 1/2) = 1/2
(1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{b-3})) / 1 = 1/2
1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{b-3}) = 1/2

Agar persamaan ini bernilai benar, kita perlu memastikan bahwa pembilang dan penyebutnya memiliki nilai yang sama ketika x=3, yang mengarah pada kondisi:
\sqrt{3+a} = \sqrt{4-3} = 1  => 3+a = 1 => a = -2
\sqrt{b-3} = \sqrt{3-2} = 1  => b-3 = 1 => b = 4

Mari kita cek jika a=-2 dan b=4:
\lim_{x\to 3} (\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}) / (\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}) = 1. Ini bukan 1/2.

Kita harus kembali ke persamaan:
1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{b-3}) = 1/2

Ini berarti bahwa nilai dari \sqrt{3+a} dan \sqrt{b-3} harus sedemikian rupa sehingga jumlah kedua suku tersebut adalah 1/2. Seringkali dalam soal semacam ini, ada kesamaan antara bagian-bagian akar.

Mari kita asumsikan:
\sqrt{3+a} = \sqrt{b-3}
Ini berarti 3+a = b-3 => b = a+6

Substitusikan kembali ke persamaan limit:
1/(2\sqrt{3+a}) + 1/(2\sqrt{3+a}) = 1/2
2/(2\sqrt{3+a}) = 1/2
1/\sqrt{3+a} = 1/2
\sqrt{3+a} = 2
3+a = 4
a = 1

Jika a=1, maka b = a+6 = 1+6 = 7.

Mari kita periksa dengan a=1 dan b=7:
Limit = \lim_{x\to 3} (\sqrt{x+1}-\sqrt{7-x})/(\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x})
Substitusikan x=3:
(\sqrt{3+1}-\sqrt{7-3})/(\sqrt{3-2}-\sqrt{4-3})
(\sqrt{4}-\sqrt{4})/(\sqrt{1}-\sqrt{1})
(2-2)/(1-1) = 0/0 (Bentuk tak tentu, jadi kita perlu L'Hopital).

Turunan pembilang: 1/(2\sqrt{x+1}) + 1/(2\sqrt{7-x})
Turunan penyebut: 1/(2\sqrt{x-2}) + 1/(2\sqrt{4-x})

Substitusikan x=3 ke turunan:
(1/(2\sqrt{3+1}) + 1/(2\sqrt{7-3})) / (1/(2\sqrt{3-2}) + 1/(2\sqrt{4-3}))
(1/(2\sqrt{4}) + 1/(2\sqrt{4})) / (1/(2\sqrt{1}) + 1/(2\sqrt{1}))
(1/4 + 1/4) / (1/2 + 1/2)
(2/4) / 1 = 1/2.

Jadi, nilai a=1 dan b=7 benar.