Jika p=2.010^2+2.011^2 dan q=2.012^2+2.013^2, maka nilai

Nilai sederhana dari akar(1-2(p+q)+4pq) adalah 16184525.

Pembahasan

Diberikan p=2.010^2+2.011^2 dan q=2.012^2+2.013^2. Kita perlu menyederhanakan $\sqrt{1-2(p+q)+4pq}$.

Perhatikan bahwa ekspresi di bawah akar kuadrat mirip dengan kuadrat sempurna. Mari kita coba manipulasi aljabar.
Misalkan x = 2.010, y = 2.011, z = 2.012, w = 2.013.
Ini tidak membantu secara langsung karena angka-angkanya berurutan.

Mari kita coba pendekatan lain. Perhatikan bentuk $1 - 2(p+q) + 4pq$. Ini belum merupakan kuadrat sempurna secara langsung.

Mari kita analisis struktur $p$ dan $q$. $p$ adalah jumlah kuadrat dari dua bilangan berurutan, dan $q$ juga demikian.

Misalkan kita punya angka $n$. Maka jumlah kuadrat dua bilangan berurutan bisa ditulis sebagai $n^2 + (n+1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$.

Dalam kasus ini, kita punya:
p = 2010^2 + 2011^2
q = 2012^2 + 2013^2

Ini membuat substitusi langsung menjadi sangat rumit.

Mari kita lihat kembali ekspresi $\sqrt{1-2(p+q)+4pq}$. Jika ini adalah kuadrat sempurna, misalnya $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ atau $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Perhatikan bahwa $4pq$ adalah suku yang paling dominan. Jika kita menganggap $p$ dan $q$ sebagai variabel terpisah, ekspresi tersebut tidak terlihat seperti kuadrat sempurna.

Ada kemungkinan soal ini mengacu pada identitas atau trik aljabar tertentu.

Mari kita coba substitusi sederhana untuk melihat polanya.
Misalkan p=1, q=2. Maka $\sqrt{1-2(1+2)+4(1)(2)} = \sqrt{1-6+8} = \sqrt{3}$.
Misalkan p=2, q=3. Maka $\sqrt{1-2(2+3)+4(2)(3)} = \sqrt{1-10+24} = \sqrt{15}$.

Ini tidak memberikan pola yang jelas.

Kemungkinan besar, ada kesalahan dalam soal atau ada identitas yang sangat spesifik yang perlu digunakan.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ekspresi di bawah akar kuadrat adalah kuadrat dari sesuatu yang berkaitan dengan $p$ dan $q$, mari kita coba bentuk seperti $(2pq - 1)^2 = 4p^2q^2 - 4pq + 1$. Ini tidak cocok.

Bagaimana jika kita mencoba menganggap p dan q memiliki hubungan yang lebih sederhana?

Misalkan kita perhatikan struktur soal ini di konteks lain. Seringkali soal seperti ini menggunakan identitas:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Jika kita melihat $\sqrt{1 - 2(p+q) + 4pq}$, ini tidak langsung cocok.

Mari kita periksa apakah ada kemungkinan soal ini terkait dengan ketidaksetaraan atau properti lain.

Revisi pemahaman: Kemungkinan besar ada kesalahan ketik pada soal atau ada konsep yang terlewat.

Namun, jika kita terpaksa harus mencari nilai sederhana, mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa ekspresi tersebut bisa disederhanakan.

Jika kita menganggap bahwa ekspresi tersebut adalah $(X)^2$, maka nilai akar kuadratnya adalah $|X|$.

Mari kita coba lihat soal serupa. Kadang-kadang soal seperti ini melibatkan manipulasi aljabar yang cerdik.

Misalkan kita punya $p = a^2 + b^2$ dan $q = c^2 + d^2$.
$p = 2010^2 + 2011^2$
$q = 2012^2 + 2013^2$

Perhatikan bahwa $2012 = 2011 + 1$ dan $2013 = 2012 + 1 = 2011 + 2$.

Misalkan $n = 2011$. Maka:
$p = (n-1)^2 + n^2$
$q = (n+1)^2 + (n+2)^2$

$p = n^2 - 2n + 1 + n^2 = 2n^2 - 2n + 1$
$q = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + 6n + 5$

$p+q = (2n^2 - 2n + 1) + (2n^2 + 6n + 5) = 4n^2 + 4n + 6$
$pq = (2n^2 - 2n + 1)(2n^2 + 6n + 5)$
Ini menjadi sangat rumit.

Mari kita kembali ke ekspresi: $\sqrt{1 - 2(p+q) + 4pq}$.
Ini sangat mirip dengan $(2pq - 1)^2$ jika suku $-2(p+q)$ adalah $-4pq$, yang jelas bukan.

Jika kita perhatikan soal ini, kemungkinan besar ada trik atau identitas yang spesifik.

Misalkan kita perhatikan bahwa $p$ dan $q$ adalah jumlah dari dua kuadrat berurutan. Ini adalah bentuk yang sering muncul dalam soal Olimpiade.

Ada identitas:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$

Ini juga tidak langsung membantu menyederhanakan ekspresi $\sqrt{1-2(p+q)+4pq}$.

Mari kita pikirkan kembali: nilai sederhana akar(1-2(p+q)+4pq).

Jika kita menganggap bahwa $1 - 2(p+q) + 4pq$ adalah kuadrat dari $(2pq - (p+q))$ atau semacamnya, ini tidak berhasil.

Kemungkinan besar, ada kesalahan dalam soal yang diberikan kepada saya. Ekspresi di bawah akar kuadrat tidak tampak seperti kuadrat sempurna dari suatu bentuk yang sederhana dalam kaitannya dengan p dan q seperti yang didefinisikan.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan manipulasi yang paling mungkin, mari kita lihat apakah ada pola jika kita anggap p dan q adalah bilangan biasa.

Jika kita asumsikan soal ini berasal dari sumber yang kredibel, mungkin ada identitas yang tidak umum atau cara pandang yang berbeda.

Mari kita coba manipulasi aljabar pada $1 - 2(p+q) + 4pq$.
Jika kita menganggap ini adalah kuadrat dari sesuatu seperti $(2pq - k)$, maka $(2pq - k)^2 = 4p^2q^2 - 4kpq + k^2$. Ini tidak cocok.

Jika kita melihat soal ini, tampaknya ada beberapa kesamaan dengan soal yang melibatkan identitas seperti Brahmagupta–Fibonacci identity, namun penerapannya di sini tidak jelas.

Mari kita fokus pada ekspresi di bawah akar: $1 - 2p - 2q + 4pq$.
Jika kita mengatur ulang menjadi $4pq - 2p - 2q + 1$, ini masih belum menjadi kuadrat sempurna standar.

Namun, jika kita menganggap bahwa ini adalah hasil dari $(2p - 1)(2q - 1)$ atau $(2q - 1)(2p - 1)$, maka:
$(2p - 1)(2q - 1) = 4pq - 2p - 2q + 1$.

Ini persis ekspresi di bawah akar kuadrat!

Jadi, $\sqrt{1-2(p+q)+4pq} = \sqrt{(2p-1)(2q-1)}$.

Sekarang, apakah $\sqrt{(2p-1)(2q-1)}$ dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi 'nilai sederhana'?

Kita punya $p = 2010^2 + 2011^2$ dan $q = 2012^2 + 2013^2$.
Ini masih merupakan perkalian dari dua bilangan besar. Belum tentu memberikan 'nilai sederhana' kecuali ada hubungan khusus.

Mari kita periksa kembali identitas: $(2p-1)(2q-1) = 4pq - 2p - 2q + 1$. Ini benar.

Sekarang, apakah ada cara untuk menyederhanakan $\sqrt{(2p-1)(2q-1)}$?

Jika kita coba substitusi nilai p dan q, kita akan mendapatkan angka yang sangat besar.

Mungkin 'nilai sederhana' yang dimaksud adalah ekspresi dalam bentuk p dan q itu sendiri, atau ada sifat khusus dari p dan q yang membuat hasil perkalian tersebut menjadi kuadrat sempurna.

Mari kita cek kembali soal asli, apakah ada kemungkinan kesalahan pengetikan?
Jika soalnya adalah $\sqrt{1-2pq+p^2q^2} = \sqrt{(1-pq)^2} = |1-pq|$, ini akan sederhana.

Jika soalnya adalah $\sqrt{4p^2q^2-4pq+1} = \sqrt{(2pq-1)^2} = |2pq-1|$, ini juga sederhana.

Namun, dengan ekspresi yang diberikan $1-2(p+q)+4pq$, kita mendapatkan $\sqrt{(2p-1)(2q-1)}$.

Jika kita perhatikan angka 2.010, 2.011, 2.012, 2.013. Mereka adalah bilangan bulat berurutan.

Misalkan $n=2010$. Maka $p = n^2 + (n+1)^2$ dan $q = (n+2)^2 + (n+3)^2$.

$2p-1 = 2(n^2 + (n+1)^2) - 1 = 2(n^2 + n^2 + 2n + 1) - 1 = 2(2n^2 + 2n + 1) - 1 = 4n^2 + 4n + 2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n+1)^2$.

Ini adalah terobosan! Ternyata $2p-1$ adalah kuadrat sempurna.

Sekarang kita perlu menghitung $2q-1$.
$q = (n+2)^2 + (n+3)^2 = (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9) = 2n^2 + 10n + 13$.

$2q-1 = 2(2n^2 + 10n + 13) - 1 = 4n^2 + 20n + 26 - 1 = 4n^2 + 20n + 25$.

Apakah $4n^2 + 20n + 25$ adalah kuadrat sempurna?
Kita cari akar dari $4n^2$ (yaitu $2n$) dan akar dari $25$ (yaitu $5$).
Periksa suku tengah: $2 	imes (2n) 	imes 5 = 20n$. Ya, ini adalah kuadrat sempurna.
$2q-1 = (2n+5)^2$.

Jadi, ekspresi di bawah akar adalah $(2p-1)(2q-1) = (2n+1)^2 (2n+5)^2 = ((2n+1)(2n+5))^2$.

Nilai dari akar kuadratnya adalah $|(2n+1)(2n+5)|$.
Karena $n=2010$, maka $2n+1$ dan $2n+5$ adalah positif.
Jadi, nilainya adalah $(2n+1)(2n+5)$.

$(2n+1)(2n+5) = 4n^2 + 10n + 2n + 5 = 4n^2 + 12n + 5$.

Kita perlu mengganti kembali $n=2010$.
$2n+1 = 2(2010) + 1 = 4020 + 1 = 4021$.
$2n+5 = 2(2010) + 5 = 4020 + 5 = 4025$.

Nilainya adalah $4021 	imes 4025$.
$4021 	imes 4025 = 4021 	imes (4021 + 4) = 4021^2 + 4 	imes 4021 = 16168441 + 16084 = 16184525$.

Atau bisa juga dihitung sebagai $(2n+1)(2n+5) = (2n+3-2)(2n+3+2) = (2n+3)^2 - 2^2 = (2n+3)^2 - 4$.
$2n+3 = 2(2010)+3 = 4020+3 = 4023$.
$(4023)^2 - 4 = 16184529 - 4 = 16184525$.

Jadi, nilai sederhana dari akar(1-2(p+q)+4pq) adalah 16184525.