Jika P = [2 -1 x x+y] dan P^(-1) = [5 -2 9 -4] maka nilai y

-7

Pembahasan

Untuk mencari nilai y, kita perlu menggunakan sifat matriks invers. Jika P^(-1) adalah invers dari matriks P, maka P * P^(-1) = I (matriks identitas).
Diketahui P = [2 -1; x x+y] dan P^(-1) = [5 -2; 9 -4].
Perkalian P * P^(-1) adalah:
[ (2*5 + (-1)*9)  (2*(-2) + (-1)*(-4)) ]
[ (x*5 + (x+y)*9) (x*(-2) + (x+y)*(-4)) ]

[ (10 - 9)  (-4 + 4) ]
[ (5x + 9x + 9y) (-2x - 4x - 4y) ]

[ 1  0 ]
[ 14x + 9y  -6x - 4y ]

Karena hasil perkaliannya adalah matriks identitas I = [1 0; 0 1], maka kita dapat menyamakan elemen-elemen yang sesuai:
14x + 9y = 0
-6x - 4y = 1

Kita juga bisa menggunakan elemen matriks P^(-1) untuk mendapatkan persamaan:
Elemen P^(-1)[1,1] = (d) / (ad-bc) = 5
Elemen P^(-1)[1,2] = (-b) / (ad-bc) = -2
Elemen P^(-1)[2,1] = (-c) / (ad-bc) = 9
Elemen P^(-1)[2,2] = (a) / (ad-bc) = -4

Di mana a=2, b=-1, c=x, d=x+y.
Determinan (ad-bc) = 2(x+y) - (-1)(x) = 2x + 2y + x = 3x + 2y.

Dari elemen P^(-1)[1,2]:
(-b) / (ad-bc) = -(-1) / (3x+2y) = 1 / (3x+2y) = -2
1 = -2(3x+2y)
1 = -6x - 4y
Ini adalah persamaan kedua yang kita dapatkan sebelumnya.

Dari elemen P^(-1)[2,2]:
(a) / (ad-bc) = 2 / (3x+2y) = -4
2 = -4(3x+2y)
2 = -12x - 8y
Membagi dengan 2:
1 = -6x - 4y
Ini juga persamaan yang sama.

Mari kita gunakan P^(-1)[1,1] dan P^(-1)[2,1]:
Dari P^(-1)[1,1]:
(d) / (ad-bc) = (x+y) / (3x+2y) = 5
x+y = 5(3x+2y)
x+y = 15x + 10y
0 = 14x + 9y. Ini adalah persamaan pertama.

Dari P^(-1)[2,1]:
(-c) / (ad-bc) = (-x) / (3x+2y) = 9
-x = 9(3x+2y)
-x = 27x + 18y
-28x = 18y
-14x = 9y
14x + 9y = 0. Ini juga persamaan yang sama.

Kita punya dua persamaan:
1) 14x + 9y = 0
2) -6x - 4y = 1

Dari persamaan (1), kita bisa ungkapkan x dalam y atau sebaliknya:
14x = -9y
x = -9y/14

Substitusikan nilai x ke persamaan (2):
-6(-9y/14) - 4y = 1
54y/14 - 4y = 1
27y/7 - 28y/7 = 1
-y/7 = 1
y = -7