Jika salah satu ujung diameter lingkaran, x^2+y^2-4x-8y+2=0

$(-1,1)$

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah $x^2+y^2-4x-8y+2=0$. Untuk mencari titik ujung diameter lainnya, pertama-tama kita perlu menemukan pusat lingkaran. Pusat lingkaran dapat ditemukan dengan mengubah persamaan ke bentuk standar $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana $(h,k)$ adalah pusat lingkaran.

Lengkapi kuadrat untuk $x$ dan $y$:
$(x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) = -2$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) = -2 + 4 + 16$
$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 18$

Jadi, pusat lingkaran adalah $(2,4)$.

Misalkan titik ujung diameter yang diketahui adalah $P(5,7)$ dan titik ujung diameter lainnya adalah $Q(x_2, y_2)$. Pusat lingkaran $(h,k)$ adalah titik tengah dari segmen garis PQ. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus titik tengah:
$$ h = \frac{x_1 + x_2}{2} $$ 
$$ k = \frac{y_1 + y_2}{2} $$ 

Substitusikan koordinat pusat $(2,4)$ dan titik $P(5,7)$:
$$ 2 = \frac{5 + x_2}{2} 

4 = \frac{7 + y_2}{2} $$ 

Selesaikan untuk $x_2$ dan $y_2$:
$$ 4 = 5 + x_2 

x_2 = 4 - 5 = -1 $$ 

$$ 8 = 7 + y_2 

y_2 = 8 - 7 = 1 $$ 

Jadi, titik ujung diameter lainnya adalah $(-1,1)$.