Jika sin (a + b) = 4/5, cos (a - b) = 12/13, dan 0 < a, b <

tan(2a) = 63/16 atau 33/56

Pembahasan

Kita diberikan informasi berikut:
sin(a + b) = 4/5
cos(a - b) = 12/13
0 < a, b < pi/4

Kita perlu mencari nilai tan(2a).

Kita tahu bahwa 2a = (a + b) + (a - b).

Maka, tan(2a) = tan((a + b) + (a - b)).

Menggunakan rumus penjumlahan tangen: tan(X + Y) = (tan X + tan Y) / (1 - tan X tan Y).

Kita perlu mencari nilai tan(a + b) dan tan(a - b).

Dari sin(a + b) = 4/5, kita dapat mencari cos(a + b). Karena 0 < a, b < pi/4, maka 0 < a + b < pi/2, sehingga cos(a + b) positif.
cos^2(a + b) = 1 - sin^2(a + b) = 1 - (4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25.
Jadi, cos(a + b) = 3/5.

Dari sini, tan(a + b) = sin(a + b) / cos(a + b) = (4/5) / (3/5) = 4/3.

Dari cos(a - b) = 12/13, kita dapat mencari sin(a - b). Karena 0 < a, b < pi/4, maka -pi/4 < a - b < pi/4. Nilai cos(a - b) positif, yang konsisten. Kita perlu menentukan tanda sin(a - b).
cos^2(a - b) = 1 - sin^2(a - b)
sin^2(a - b) = 1 - cos^2(a - b) = 1 - (12/13)^2 = 1 - 144/169 = 25/169.
Jadi, sin(a - b) = ±5/13.

Untuk menentukan tanda sin(a - b), kita perlu tahu lebih lanjut tentang rentang a - b. Karena 0 < a < pi/4 dan 0 < b < pi/4, maka nilai terkecil a - b adalah mendekati 0 (jika a mendekati 0 dan b mendekati 0), dan nilai terbesar a - b adalah mendekati pi/4 (jika a mendekati pi/4 dan b mendekati 0). Namun, jika a mendekati 0 dan b mendekati pi/4, a-b akan negatif. Jadi, rentangnya adalah (-pi/4, pi/4).
Dalam rentang ini, sin bisa positif atau negatif. Kita perlu informasi lebih lanjut atau melihat apakah ada implikasi lain.

Mari kita coba kedua kemungkinan untuk sin(a - b).

Kasus 1: sin(a - b) = 5/13.
Tan(a - b) = sin(a - b) / cos(a - b) = (5/13) / (12/13) = 5/12.

Maka, tan(2a) = tan((a + b) + (a - b)) = (tan(a + b) + tan(a - b)) / (1 - tan(a + b) * tan(a - b))
tan(2a) = (4/3 + 5/12) / (1 - (4/3) * (5/12))
tan(2a) = ((16 + 5)/12) / (1 - 20/36)
tan(2a) = (21/12) / (1 - 5/9)
tan(2a) = (7/4) / (4/9)
tan(2a) = (7/4) * (9/4) = 63/16.

Kasus 2: sin(a - b) = -5/13.
Tan(a - b) = sin(a - b) / cos(a - b) = (-5/13) / (12/13) = -5/12.

Maka, tan(2a) = tan((a + b) + (a - b)) = (tan(a + b) + tan(a - b)) / (1 - tan(a + b) * tan(a - b))
tan(2a) = (4/3 + (-5/12)) / (1 - (4/3) * (-5/12))
tan(2a) = ((16 - 5)/12) / (1 + 20/36)
tan(2a) = (11/12) / (1 + 5/9)
tan(2a) = (11/12) / (14/9)
tan(2a) = (11/12) * (9/14) = (11/4) * (3/14) = 33/56.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan rentang 0 < a, b < pi/4. Ini berarti:
0 < a < pi/4
0 < b < pi/4

Ini menyiratkan:
0 < a + b < pi/2
-pi/4 < a - b < pi/4

Untuk a + b, sin(a + b) = 4/5 dan cos(a + b) = 3/5. Keduanya positif, yang konsisten dengan a + b berada di kuadran pertama.

Untuk a - b:
Jika a > b, maka a - b > 0. Dalam hal ini, sin(a - b) akan positif, dan tan(a - b) = 5/12.
Jika a < b, maka a - b < 0. Dalam hal ini, sin(a - b) akan negatif, dan tan(a - b) = -5/12.

Kita perlu menentukan apakah a > b atau a < b. Informasi yang diberikan tidak secara eksplisit menyatakan ini.
Namun, jika kita melihat nilai-nilai yang diberikan:
sin(a+b) = 4/5, cos(a+b) = 3/5 => a+b = arcsin(4/5) ≈ 53.13 derajat
cos(a-b) = 12/13 => a-b = arccos(12/13) ≈ 22.62 derajat atau a-b = -arccos(12/13) ≈ -22.62 derajat

Jika a-b ≈ 22.62 derajat:
a+b ≈ 53.13
a-b ≈ 22.62
2a ≈ 75.75 => a ≈ 37.875 (dalam rentang 0 < a < 45)
2b ≈ 30.51 => b ≈ 15.255 (dalam rentang 0 < b < 45)
Ini konsisten.

Jika a-b ≈ -22.62 derajat:
a+b ≈ 53.13
a-b ≈ -22.62
2a ≈ 30.51 => a ≈ 15.255 (dalam rentang 0 < a < 45)
2b ≈ 75.75 => b ≈ 37.875 (dalam rentang 0 < b < 45)
Ini juga konsisten.

Jadi, kedua kasus memungkinkan. Namun, dalam banyak konteks soal seperti ini, biasanya ada satu jawaban yang dimaksudkan. Mari kita periksa apakah ada konvensi atau jika ada cara lain untuk menafsirkan.

Jika kita mengasumsikan bahwa ketika tidak ditentukan, kita mengambil nilai prinsipal atau nilai yang paling umum.

Dalam kasus di mana a dan b tidak diketahui secara individual, namun kita diberikan hubungan mereka, kita harus mengeksplorasi semua kemungkinan yang memenuhi batasan.

Mari kita cek lagi soalnya.