Jika sin alpha +sin beta = akar(2A) dan cos alpha +cos beta

A + B - 1

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan identitas trigonometri.

Diketahui:
1. sin α + sin β = √(2A)
2. cos α + cos β = √(2B)

Ditanya: cos α cos β + sin α sin β

Kita tahu bahwa cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β. Jadi, kita perlu mencari nilai dari cos(α - β).

Mari kita kuadratkan kedua persamaan yang diketahui:
Kuadratkan persamaan (1):
(sin α + sin β)² = (√(2A))²
sin²α + 2 sin α sin β + sin²β = 2A

Kuadratkan persamaan (2):
(cos α + cos β)² = (√(2B))²
cos²α + 2 cos α cos β + cos²β = 2B

Jumlahkan kedua hasil kuadrat tersebut:
(sin²α + 2 sin α sin β + sin²β) + (cos²α + 2 cos α cos β + cos²β) = 2A + 2B

Kelompokkan suku-suku yang serupa:
(sin²α + cos²α) + (sin²β + cos²β) + 2 sin α sin β + 2 cos α cos β = 2A + 2B

Gunakan identitas trigonometri dasar: sin²θ + cos²θ = 1
1 + 1 + 2 (sin α sin β + cos α cos β) = 2A + 2B
2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2A + 2B

Kita tahu bahwa cos α cos β + sin α sin β = cos(α - β).
Jadi, persamaannya menjadi:
2 + 2 cos(α - β) = 2A + 2B

Bagi seluruh persamaan dengan 2:
1 + cos(α - β) = A + B

Sekarang, isolasi cos(α - β):
cos(α - β) = A + B - 1

Karena cos α cos β + sin α sin β = cos(α - β), maka:
cos α cos β + sin α sin β = A + B - 1