Jika t, s, V menyatakan tinggi, luas selimut, dan volume

$9V^2$

Pembahasan

Diketahui: t = tinggi kerucut, s = luas selimut kerucut, V = volume kerucut.
Rumus luas selimut kerucut: $s = \pi r t$, di mana r adalah jari-jari alas.
Rumus volume kerucut: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 t$.
Kita perlu menyederhanakan ekspresi $(3 \pi V t^3 - s^2 t^2 + 9V^2)$.
Mari kita substitusikan rumus s dan V ke dalam ekspresi tersebut.
Dari rumus s, kita punya $r = \frac{s}{\pi t}$.
Substitusikan r ke dalam rumus V:
$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{s}{\pi t})^2 t = \frac{1}{3} \pi \frac{s^2}{\pi^2 t^2} t = \frac{1}{3} \frac{s^2}{\pi t}$.
Dari sini, kita bisa mendapatkan $\pi t = \frac{s^2}{3V}$.
Sekarang, mari kita manipulasi ekspresi yang diberikan:
$3 \pi V t^3 - s^2 t^2 + 9V^2$
Kita bisa mengeluarkan $t^2$ dari dua suku pertama:
$t^2 (3 \pi V t - s^2) + 9V^2$.
Mari kita coba cara lain. Kita punya $\pi r t = s$ dan $\frac{1}{3} \pi r^2 t = V$. Maka $\pi r^2 t = 3V$.
Kita bisa membagi kedua persamaan:
$\frac{\pi r^2 t}{\pi r t} = \frac{3V}{s} \implies r = \frac{3V}{s}$.
Sekarang substitusikan r ke dalam $s = \pi r t$: $s = \pi (\frac{3V}{s}) t = \frac{3 \pi V t}{s}$.
Dari sini, $s^2 = 3 \pi V t$. Ini adalah hubungan penting.
Sekarang substitusikan $s^2 = 3 \pi V t$ ke dalam ekspresi asli:
$(3 \pi V t^3 - s^2 t^2 + 9V^2) = (3 \pi V t \cdot t^2 - (3 \pi V t) t^2 + 9V^2)$
Ini sepertinya tidak menyederhanakan dengan baik.
Mari kita gunakan $s^2 = 3 \pi V t$ lagi.
Ekspresi: $3 \pi V t^3 - s^2 t^2 + 9V^2$.
Ganti $s^2$ dengan $3 \pi V t$: $3 \pi V t^3 - (3 \pi V t) t^2 + 9V^2 = 3 \pi V t^3 - 3 \pi V t^3 + 9V^2 = 9V^2$.

Mari kita pastikan hubungan $s^2 = 3 \pi V t$ benar.
$s = \pi r t 
ightarrow s^2 = \pi^2 r^2 t^2$.
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 t 
ightarrow 3V = \pi r^2 t$.
Mengalikan $3V$ dengan $\pi t$: $3V \pi t = (\pi r^2 t) \pi t = \pi^2 r^2 t^2$.
Jadi, $s^2 = 3V \pi t$. Hubungan ini benar.
Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi:
$(3 \pi V t^3 - s^2 t^2 + 9V^2) = 3 \pi V t^3 - (3 \pi V t) t^2 + 9V^2$
$= 3 \pi V t^3 - 3 \pi V t^3 + 9V^2$
$= 9V^2$.