Jika tan 15=a , tunjukkan bahwa(tan 165-tan 105)/(1+tan 165

Dengan menggunakan identitas trigonometri, ekspresi di sisi kiri disederhanakan menjadi (1-a^2)/2a. Terdapat kemungkinan kesalahan penulisan pada soal asli karena hasil ini tidak sama dengan 1/2 * a * (1 - a^2).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa (tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 * tan 105) = 1/2 * a * (1 - a^2) dengan tan 15 = a, kita dapat menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan tangen:

tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)

Dalam kasus ini, kita dapat menganggap A = 165 dan B = 105. Namun, lebih mudah jika kita menggunakan identitas sudut berelasi untuk menyederhanakan tan 165 dan tan 105.

tan 165 = tan (180 - 15) = -tan 15 = -a
tan 105 = tan (90 + 15) = -cot 15

Kita tahu bahwa cot 15 = 1 / tan 15 = 1/a.
Maka, tan 105 = -1/a.

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
(tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 * tan 105) = (-a - (-1/a)) / (1 + (-a) * (-1/a))
= (-a + 1/a) / (1 + a * (1/a))
= ((-a^2 + 1) / a) / (1 + 1)
= ((1 - a^2) / a) / 2
= (1 - a^2) / (2a)

Sekarang mari kita lihat sisi kanan dari persamaan yang ingin dibuktikan:
1/2 * a * (1 - a^2)

Terlihat ada ketidaksesuaian antara hasil yang didapatkan dan yang ingin dibuktikan. Mari kita cek kembali penggunaan identitas trigonometri.

Cara lain:
Kita tahu tan 165 = tan (120 + 45) = (tan 120 + tan 45) / (1 - tan 120 * tan 45)
tan 120 = -sqrt(3)
tan 45 = 1
tan 165 = (-sqrt(3) + 1) / (1 - (-sqrt(3)) * 1) = (1 - sqrt(3)) / (1 + sqrt(3))

tan 105 = tan (60 + 45) = (tan 60 + tan 45) / (1 - tan 60 * tan 45)
tan 60 = sqrt(3)
tan 45 = 1
tan 105 = (sqrt(3) + 1) / (1 - sqrt(3) * 1) = (sqrt(3) + 1) / (1 - sqrt(3))

Sekarang kita punya:
tan 165 = (1 - sqrt(3)) / (1 + sqrt(3)) = ((1 - sqrt(3))^2) / ((1+sqrt(3))(1-sqrt(3))) = (1 - 2sqrt(3) + 3) / (1 - 3) = (4 - 2sqrt(3)) / -2 = -2 + sqrt(3)
tan 105 = (sqrt(3) + 1) / (1 - sqrt(3)) = ((sqrt(3) + 1)^2) / ((1-sqrt(3))(1+sqrt(3))) = (3 + 2sqrt(3) + 1) / (1 - 3) = (4 + 2sqrt(3)) / -2 = -2 - sqrt(3)

Kita tahu tan 15 = 2 - sqrt(3). Jadi a = 2 - sqrt(3).

Mari kita hitung tan 165 dan tan 105 dalam bentuk a.
tan 15 = a
tan 165 = tan(180 - 15) = -tan 15 = -a
tan 105 = tan(90 + 15) = -cot 15 = -1/a

Substitusikan ke dalam ekspresi:
(tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 * tan 105)
= (-a - (-1/a)) / (1 + (-a) * (-1/a))
= (-a + 1/a) / (1 + 1)
= ((-a^2 + 1)/a) / 2
= (1 - a^2) / 2a

Ini adalah hasil yang benar dari ekspresi di sisi kiri. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa ini sama dengan 1/2 * a * (1 - a^2).

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau dalam pemahaman saya tentang bagaimana 'a' didefinisikan. Jika tan 15 = a, maka a = 2 - sqrt(3).

Mari kita evaluasi (1 - a^2) / 2a:
a^2 = (2 - sqrt(3))^2 = 4 - 4sqrt(3) + 3 = 7 - 4sqrt(3)
1 - a^2 = 1 - (7 - 4sqrt(3)) = -6 + 4sqrt(3)
2a = 2(2 - sqrt(3)) = 4 - 2sqrt(3)
(1 - a^2) / 2a = (-6 + 4sqrt(3)) / (4 - 2sqrt(3))
= (-6 + 4sqrt(3))(4 + 2sqrt(3)) / ((4 - 2sqrt(3))(4 + 2sqrt(3)))
= (-24 - 12sqrt(3) + 16sqrt(3) + 24) / (16 - 12)
= (4sqrt(3)) / 4 = sqrt(3)

Sekarang mari kita evaluasi 1/2 * a * (1 - a^2):
1/2 * (2 - sqrt(3)) * (-6 + 4sqrt(3))
= 1/2 * (-12 + 8sqrt(3) + 6sqrt(3) - 12)
= 1/2 * (-24 + 14sqrt(3))
= -12 + 7sqrt(3)

Kedua sisi tidak sama. Kemungkinan ada kesalahan ketik dalam soal yang diberikan. Jika kita mengasumsikan bahwa soal seharusnya membuktikan (tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 tan 105) = (1 - a^2) / 2a, maka pembuktiannya adalah seperti di atas.

Jika kita mencoba membuktikan identitas yang diberikan dengan nilai a = tan 15 = 2 - sqrt(3), mari kita evaluasi sisi kanan:
1/2 * a * (1 - a^2) = 1/2 * (2 - sqrt(3)) * (1 - (2 - sqrt(3))^2)
= 1/2 * (2 - sqrt(3)) * (1 - (4 - 4sqrt(3) + 3))
= 1/2 * (2 - sqrt(3)) * (1 - (7 - 4sqrt(3)))
= 1/2 * (2 - sqrt(3)) * (-6 + 4sqrt(3))
= 1/2 * (-12 + 8sqrt(3) + 6sqrt(3) - 12)
= 1/2 * (-24 + 14sqrt(3))
= -12 + 7sqrt(3)

Dan sisi kiri kita dapatkan sqrt(3).

Karena ada ketidaksesuaian, mari kita periksa apakah ada cara lain untuk mengekspresikan tan 165 dan tan 105 dalam bentuk 'a'.

Kita tahu tan 15 = a.
 tan 165 = tan(180-15) = -tan 15 = -a
tan 105 = tan(120-15) = (tan 120 - tan 15) / (1 + tan 120 tan 15)
tan 120 = -sqrt(3)
tan 105 = (-sqrt(3) - a) / (1 + (-sqrt(3))a) = (-sqrt(3) - a) / (1 - a sqrt(3))

Ini juga tidak menyederhanakan ke arah yang diinginkan dengan mudah.

Mari kita gunakan kembali:
tan 165 = -a
tan 105 = -1/a

Ekspresi: (tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 tan 105)
= (-a - (-1/a)) / (1 + (-a)(-1/a))
= (-a + 1/a) / (1 + 1)
= ((-a^2 + 1)/a) / 2
= (1 - a^2) / 2a

Jika soalnya adalah membuktikan bahwa (tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 tan 105) = (1 - a^2) / 2a, maka pembuktiannya adalah sebagai berikut:
Diketahui tan 15 = a.
Maka tan 165 = tan(180 - 15) = -tan 15 = -a.
Dan tan 105 = tan(90 + 15) = -cot 15.
Karena cot 15 = 1 / tan 15 = 1/a, maka tan 105 = -1/a.
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi di sisi kiri:
(tan 165 - tan 105) / (1 + tan 165 * tan 105)
= (-a - (-1/a)) / (1 + (-a) * (-1/a))
= (-a + 1/a) / (1 + 1)
= ((1 - a^2)/a) / 2
= (1 - a^2) / 2a
Ini sama dengan sisi kanan yang diharapkan jika soalnya demikian.

Mengingat soal asli meminta untuk menunjukkan bahwa ekspresi tersebut sama dengan 1/2 * a * (1 - a^2), dan hasil perhitungan kita adalah (1 - a^2) / 2a, terdapat ketidaksesuaian. Kemungkinan besar ada kesalahan penulisan pada soal asli. Berdasarkan manipulasi aljabar trigonometri standar, pembuktian yang paling mendekati adalah untuk hasil (1 - a^2) / 2a.