Jika tan alpha=akar(3) dan sin beta=1/3, alpha dan beta

Nilai cos (alpha+beta)+cos 2beta adalah (14 + 6√2 - 3√3)/18.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan nilai-nilai sudut istimewa.
Diketahui:
tan alpha = akar(3), alpha adalah sudut lancip. Ini berarti alpha = 60 derajat.
sin beta = 1/3, beta adalah sudut lancip.

Kita perlu mencari nilai cos (alpha+beta) + cos 2beta.

Langkah 1: Cari nilai cos alpha dan sin alpha.
Karena tan alpha = akar(3) dan alpha lancip, maka alpha = 60 derajat.
cos alpha = cos 60 = 1/2
sin alpha = sin 60 = akar(3)/2

Langkah 2: Cari nilai sin beta dan cos beta.
Karena sin beta = 1/3 dan beta lancip, kita bisa menggunakan identitas sin^2 beta + cos^2 beta = 1.
(1/3)^2 + cos^2 beta = 1
1/9 + cos^2 beta = 1
cos^2 beta = 1 - 1/9
cos^2 beta = 8/9
cos beta = sqrt(8/9) = (2 * akar(2))/3 (karena beta lancip, cos beta positif).

Langkah 3: Hitung cos (alpha+beta).
Gunakan identitas cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B.
cos(alpha+beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
cos(alpha+beta) = (1/2) * ((2 * akar(2))/3) - (akar(3)/2) * (1/3)
cos(alpha+beta) = (2 * akar(2))/6 - akar(3)/6
cos(alpha+beta) = (2 * akar(2) - akar(3))/6

Langkah 4: Hitung cos 2beta.
Gunakan identitas cos(2B) = 1 - 2 sin^2 beta.
cos 2beta = 1 - 2 * (1/3)^2
cos 2beta = 1 - 2 * (1/9)
cos 2beta = 1 - 2/9
cos 2beta = 7/9

Langkah 5: Jumlahkan hasil dari Langkah 3 dan Langkah 4.
cos (alpha+beta) + cos 2beta = (2 * akar(2) - akar(3))/6 + 7/9
Untuk menjumlahkannya, cari KPK dari 6 dan 9, yaitu 18.
= (3 * (2 * akar(2) - akar(3)))/18 + (2 * 7)/18
= (6 * akar(2) - 3 * akar(3))/18 + 14/18
= (6 * akar(2) - 3 * akar(3) + 14)/18

Jadi, nilai dari cos (alpha+beta)+cos 2beta adalah (14 + 6√2 - 3√3)/18.