lim x->p (x akar(x)-p akar(p))/(akar(x)-akar(p))=...

Nilai limitnya adalah 3p.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x->p (x akar(x)-p akar(p))/(akar(x)-akar(p)), kita bisa menggunakan beberapa metode, seperti substitusi langsung (jika memungkinkan), faktorisasi, atau aturan L'Hopital. Jika kita coba substitusi langsung x=p, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Metode 1: Faktorisasi dengan bentuk a^n - b^n
Kita bisa menulis ulang x akar(x) sebagai x^(3/2) dan p akar(p) sebagai p^(3/2). Maka limitnya menjadi:
lim x->p (x^(3/2) - p^(3/2)) / (x^(1/2) - p^(1/2))
Misalkan y = akar(x), maka x = y^2. Ketika x -> p, maka y -> akar(p).
Limit menjadi:
lim y->akar(p) ((y^2)^(3/2) - (akar(p)^2)^(3/2)) / (y - akar(p))
= lim y->akar(p) (y^3 - (akar(p))^3) / (y - akar(p))
Ini adalah bentuk limit yang dapat difaktorkan menggunakan rumus a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).
= lim y->akar(p) (y - akar(p))(y^2 + y*akar(p) + (akar(p))^2) / (y - akar(p))
Kita bisa membatalkan (y - akar(p)).
= lim y->akar(p) (y^2 + y*akar(p) + p)
Sekarang substitusikan y = akar(p):
= (akar(p))^2 + (akar(p))*(akar(p)) + p
= p + p + p
= 3p

Metode 2: Aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung menghasilkan 0/0, kita bisa gunakan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan dari pembilang (x * x^(1/2) = x^(3/2)) adalah (3/2) * x^(1/2) = (3/2) * akar(x).
Turunan dari penyebut (akar(x) = x^(1/2)) adalah (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2 * akar(x)).

Maka limitnya menjadi:
lim x->p [(3/2) * akar(x)] / [1 / (2 * akar(x))]
= lim x->p (3/2) * akar(x) * (2 * akar(x))
= lim x->p 3 * (akar(x))^2
= lim x->p 3x
Sekarang substitusikan x = p:
= 3p

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Jadi, nilai limitnya adalah 3p.