Jika (x,y)(sin alpha cos alpha -cps alpha sin alpha)=(sin

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep perkalian matriks dan persamaan linear.
Diketahui matriks:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Perkalian matriks di sisi kiri menghasilkan:
$$ 
(x \cos \alpha - y \sin \alpha \quad x \sin \alpha + y \cos \alpha) 
$$ 

Sehingga persamaan matriks menjadi:
$$ 
(x \cos \alpha - y \sin \alpha \quad x \sin \alpha + y \cos \alpha) = (\sin \alpha \quad \cos \alpha) 
$$ 

Dari kesamaan matriks, kita dapat membentuk dua persamaan linear:
1. $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Untuk mencari nilai x+y, kita bisa menjumlahkan kedua persamaan tersebut:
$(x \cos \alpha - y \sin \alpha) + (x \sin \alpha + y \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$
$x \cos \alpha + x \sin \alpha - y \sin \alpha + y \cos \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha$
$x(\cos \alpha + \sin \alpha) + y(\cos \alpha - \sin \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Ini belum memberikan nilai x+y secara langsung. Mari kita coba metode lain, yaitu dengan mengalikan persamaan pertama dengan $\cos \alpha$ dan persamaan kedua dengan $\sin \alpha$, lalu menjumlahkannya, atau mengalikan persamaan pertama dengan $\sin \alpha$ dan persamaan kedua dengan $\cos \alpha$, lalu menjumlahkannya untuk mengeliminasi salah satu variabel.

Mari kita kalikan persamaan 1 dengan $\sin \alpha$ dan persamaan 2 dengan $\cos \alpha$:
1. $(x \cos \alpha - y \sin \alpha) \sin \alpha = \sin \alpha \sin \alpha \Rightarrow x \sin \alpha \cos \alpha - y \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
2. $(x \sin \alpha + y \cos \alpha) \cos \alpha = \cos \alpha \cos \alpha \Rightarrow x \sin \alpha \cos \alpha + y \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

Kurangkan persamaan hasil perkalian 1 dari persamaan hasil perkalian 2:
$(x \sin \alpha \cos \alpha + y \cos^2 \alpha) - (x \sin \alpha \cos \alpha - y \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$x \sin \alpha \cos \alpha + y \cos^2 \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + y \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$y(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
Karena $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, maka:
$y = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha)$

Sekarang, mari kita eliminasi y. Kalikan persamaan 1 dengan $\cos \alpha$ dan persamaan 2 dengan $\sin \alpha$:
1. $(x \cos \alpha - y \sin \alpha) \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow x \cos^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
2. $(x \sin \alpha + y \cos \alpha) \sin \alpha = \cos \alpha \sin \alpha \Rightarrow x \sin^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$

Jumlahkan kedua persamaan hasil perkalian tersebut:
$(x \cos^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha) + (x \sin^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$
$x \cos^2 \alpha + x \sin^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$x(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$x = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$

Jadi, kita punya $x = \sin(2\alpha)$ dan $y = \cos(2\alpha)$.
Maka, $x+y = \sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Namun, mari kita periksa kembali soalnya. Mungkin ada cara yang lebih sederhana atau interpretasi lain dari soal tersebut.

Jika kita kembali ke persamaan:
1. $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Jika kita ingin mencari x+y, mari kita coba mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 1, lalu menjumlahkannya:
$(x \cos \alpha - y \sin \alpha) + (x \sin \alpha + y \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$
$x(\cos \alpha + \sin \alpha) + y(\cos \alpha - \sin \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Jika $\cos \alpha + \sin \alpha \neq 0$ dan $\cos \alpha - \sin \alpha \neq 0$, ini masih belum memberikan x+y.

Mari kita lihat format soalnya. Matriks yang diberikan adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 
Ini adalah matriks rotasi sebesar $-\alpha$ atau $\alpha$ berlawanan arah jarum jam tergantung konvensi. Namun, di soal tertulis $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ yang merupakan rotasi sebesar $\alpha$ berlawanan arah jarum jam.

Jika matriksnya adalah $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$, maka perkaliannya adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \alpha + y \sin \alpha & -x \sin \alpha + y \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Sehingga:
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = \sin \alpha$
$-x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Jumlahkan kedua persamaan:
$(x \cos \alpha + y \sin \alpha) + (-x \sin \alpha + y \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$
$x(\cos \alpha - \sin \alpha) + y(\sin \alpha + \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Ini juga belum memberikan x+y.

Mari kita asumsikan matriks di soal adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Dan perkaliannya adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Namun, ini bukan perkalian matriks yang valid (1x2 dikali 2x2).

Mari kita kembali ke interpretasi pertama dengan matriks:
$$ 
\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Dan perkaliannya:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \alpha - y \sin \alpha & x \sin \alpha + y \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Sehingga:
1. $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Jika kita menjumlahkan kedua persamaan tersebut:
$x(\cos \alpha + \sin \alpha) + y(\cos \alpha - \sin \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Perhatikan jika $\alpha = 45^\circ$ ($\pi/4$ radian):
$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Persamaan 1: $x \frac{\sqrt{2}}{2} - y \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x - y = 1$
Persamaan 2: $x \frac{\sqrt{2}}{2} + y \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x + y = 1$

Jika $x+y=1$ dan $x-y=1$, maka $2x=2 \Rightarrow x=1$, dan $y=0$.
Dalam kasus ini, $x+y = 1$. Mari kita cek apakah $x=1, y=0$ memenuhi $\sin(2\alpha)$ dan $\cos(2\alpha)$.
Jika $\alpha=45^\circ$, $2\alpha = 90^\circ$.
$\sin(90^\circ) = 1 = x$
$\cos(90^\circ) = 0 = y$
Ini cocok. Jadi $x+y=1$ ketika $\alpha=45^\circ$.

Namun, soal menyatakan $\alpha$ adalah konstanta, jadi jawabannya seharusnya tidak bergantung pada nilai $\alpha$ tertentu.

Mari kita kembali ke persamaan:
1. $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Jika kita kalikan persamaan (1) dengan $\cos \alpha$ dan persamaan (2) dengan $\sin \alpha$, lalu jumlahkan:
$x \cos^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$x \sin^2 \alpha + y \cos \alpha \sin \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$
Jumlahkan keduanya:
$x(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$x = \sin(2\alpha)$

Jika kita kalikan persamaan (1) dengan $-\sin \alpha$ dan persamaan (2) dengan $\cos \alpha$, lalu jumlahkan:
$-x \sin \alpha \cos \alpha + y \sin^2 \alpha = -\sin^2 \alpha$
$x \sin \alpha \cos \alpha + y \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha$
Jumlahkan keduanya:
$y(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$y = \cos(2\alpha)$

Maka $x+y = \sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Ada kemungkinan soalnya salah ketik atau ada trik.

Perhatikan jika kita menjumlahkan kedua persamaan awal:
$x(\cos \alpha + \sin \alpha) + y(\cos \alpha - \sin \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Jika kita misalkan $A = \cos \alpha + \sin \alpha$ dan $B = \cos \alpha - \sin \alpha$, maka
$xA + yB = A$

Ini berarti jika $y=0$, maka $xA = A$, yang mengimplikasikan $x=1$.
Jika $y=0$, maka dari persamaan 2: $x \sin \alpha = \cos \alpha \Rightarrow x = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$.
Ini kontradiksi jika $\alpha \neq 90^\circ$. 

Kembali ke soalnya: $(x,y)(sin alpha cos alpha -cps alpha sin alpha)=(sin alpha cos alpha)$.
Matriksnya tertulis $\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ tapi di soal tertulis $\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}$? Tidak, formatnya adalah $(x, y)$ dikali matriks 2x2.

Format soal yang benar seharusnya:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & f \end{pmatrix} 
$$ 

Pada soal ini, elemen matriksnya adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Namun, penulisan $\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}$ juga mungkin dimaksud.

Jika matriksnya adalah $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ (matriks rotasi standar):
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \alpha + y \sin \alpha & -x \sin \alpha + y \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Dan hasil perkaliannya adalah $\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$.

Maka:
1. $x \cos \alpha + y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $-x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Jika kita jumlahkan kedua persamaan:
$x(\cos \alpha - \sin \alpha) + y(\sin \alpha + \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Jika kita kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
$(x \cos \alpha + y \sin \alpha) - (-x \sin \alpha + y \cos \alpha) = \sin \alpha - \cos \alpha$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha + x \sin \alpha - y \cos \alpha = \sin \alpha - \cos \alpha$
$x(\cos \alpha + \sin \alpha) + y(\sin \alpha - \cos \alpha) = \sin \alpha - \cos \alpha$

Mari kita coba selesaikan untuk x dan y menggunakan Cramer's rule atau eliminasi.
Kalikan pers 1 dengan $\cos \alpha$ dan pers 2 dengan $\sin \alpha$:
$x \cos^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$-x \sin^2 \alpha + y \cos \alpha \sin \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$
Kurangkan persamaan kedua dari pertama:
$x(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 0 
Rightarrow x = 0$

Jika $x=0$, substitusikan ke persamaan 1:
$0 \cos \alpha + y \sin \alpha = \sin \alpha 
Rightarrow y \sin \alpha = \sin \alpha$
Maka $y=1$ (jika $\sin \alpha \neq 0$).

Jika $x=0$ dan $y=1$, maka $x+y = 0+1 = 1$.

Mari kita cek apakah $x=0, y=1$ memenuhi persamaan 2:
$-0 \sin \alpha + 1 \cos \alpha = \cos \alpha 
\Rightarrow \cos \alpha = \cos \alpha$. Ini benar.

Jadi, jika matriksnya adalah $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$, maka $x=0$ dan $y=1$, sehingga $x+y=1$.

Sekarang, jika kita kembali ke soal aslinya dengan matriks $\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$:
1. $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Kalikan pers 1 dengan $\cos \alpha$ dan pers 2 dengan $\sin \alpha$:
$x \cos^2 \alpha - y \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$x \sin^2 \alpha + y \cos \alpha \sin \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$
Jumlahkan keduanya:
$x(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$x = \sin(2\alpha)$

Kalikan pers 1 dengan $\sin \alpha$ dan pers 2 dengan $\cos \alpha$:
$x \sin \alpha \cos \alpha - y \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
$x \sin \alpha \cos \alpha + y \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha$
Kurangkan persamaan pertama dari kedua:
$y(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$y = \cos(2\alpha)$

Maka $x+y = \sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)$. Ini masih bergantung pada $\alpha$.

Ada kemungkinan penulisan soal salah atau maksudnya adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Jika itu kasusnya, jawabannya adalah 1.

Mari kita perhatikan lagi soalnya:
$(x,y)(sin alpha cos alpha -cps alpha sin alpha)=(sin alpha cos alpha)$

Baris pertama matriks adalah $(\sin \alpha, \cos \alpha)$ dan baris kedua adalah $(-\cos \alpha, \sin \alpha)$.
Ini tidak sesuai dengan format perkalian $(x,y)$ dikali matriks 2x2.

Diasumsikan formatnya adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Di sini, elemen matriksnya:
$a = \cos \alpha, b = \sin \alpha$
$c = -\sin \alpha, d = \cos \alpha$

Hasilnya:
$e = \sin \alpha, f = \cos \alpha$

Persamaan:
$xa + yc = e 

x \cos \alpha + y (-\sin \alpha) = \sin \alpha 

x \cos \alpha - y \sin \alpha = \sin \alpha 

xb + yd = f 

x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha 

Ini adalah sistem persamaan yang sama seperti sebelumnya, yang menghasilkan $x=\sin(2\alpha)$ dan $y=\cos(2\alpha)$, sehingga $x+y = \sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Jika ada pilihan jawaban, itu akan sangat membantu. Tanpa pilihan jawaban, dan dengan asumsi bahwa soal ini memiliki jawaban yang konstan (tidak bergantung pada alpha), maka ada kemungkinan salah ketik pada soal.

Jika kita berasumsi hasil perkaliannya adalah $(1, 0)$ atau $(0, 1)$ atau $(1, 1)$, dll., mungkin bisa disederhanakan.

Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan apa yang tertulis, maka $x+y = \sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Jika kita perhatikan kembali penulisan: `(sin alpha cos alpha -cps alpha sin alpha)` ini kemungkinan adalah penulisan elemen matriks, bukan hasil perkalian.

Soal #1: Jika $(x,y)(\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha) = (\sin \alpha \cos \alpha)$ dan $\alpha$ merupakan suatu konstanta, maka $x+y=...$

Format ini sangat membingungkan.

Jika itu adalah perkalian matriks: $(x, y)$ dikali matriks 2x2.
Bagian `(sin alpha cos alpha -cps alpha sin alpha)` ini tertulis sebagai perkalian elemen, bukan matriks.

Mari kita abaikan penulisan yang membingungkan dan fokus pada interpretasi yang paling masuk akal:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Dengan interpretasi ini, kita dapatkan $x=0$ dan $y=1$, sehingga $x+y=1$.

Jika interpretasinya:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Maka $x = \sin(2\alpha)$ dan $y = \cos(2\alpha)$, sehingga $x+y = \sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Mengingat format soal ujian matematika yang biasanya memiliki jawaban tunggal yang tidak bergantung pada variabel jika variabel tersebut adalah konstanta yang tidak ditentukan nilainya, maka interpretasi pertama (matriks rotasi standar) lebih mungkin.

**Jawaban Berdasarkan Interpretasi Matriks Rotasi Standar:**
Kita asumsikan soalnya adalah:
$$ 
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} 
$$ 

Dari perkalian matriks, kita dapatkan:
1. $x \cos \alpha + y \sin \alpha = \sin \alpha$
2. $-x \sin \alpha + y \cos \alpha = \cos \alpha$

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini, kita temukan $x=0$ dan $y=1$.
Maka, $x+y = 0 + 1 = 1$.