Jika tan2x=2 untuk 0<x<pi/2, maka nilai tanx= . . . .

Nilai tanx = (√5 - 1) / 2.

Pembahasan

Diketahui \(\tan(2x) = 2\) dan \(0 < x < \frac{\pi}{2}\).
Kita perlu mencari nilai \(\tan x\).

Menggunakan identitas tangen sudut ganda: \(\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}\).

Substitusikan nilai \(\tan(2x) = 2\):
\(2 = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}\)

Bagi kedua sisi dengan 2:
\(1 = \frac{\tan x}{1 - \tan^2 x}\)

Kalikan kedua sisi dengan \(1 - \tan^2 x\):
\(1 - \tan^2 x = \tan x\)

Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam \(\tan x\). Misalkan \(y = \tan x\):
\(1 - y^2 = y\)
\(y^2 + y - 1 = 0\)

Menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan \(y\): \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Di sini, \(a = 1, b = 1, c = -1\).

\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\)
\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\)
\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Jadi, \(\tan x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) atau \(\tan x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\).

Karena \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), maka \(\tan x\) harus positif. Nilai \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\) adalah negatif.
Oleh karena itu, nilai \(\tan x\) yang memenuhi adalah \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\).

Nilai \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) dikenal sebagai konstanta rasio emas terbalik, sering dilambangkan dengan \(\phi^{-1}\) atau \(\varphi\).

Jadi, nilai \(\tan x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\).