Jika theta merupakan sudut antara p=i-3j+2k dan q=2i-j+3k,

5 * sqrt(3) / 11

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan theta, kita perlu menggunakan rumus dot product antara dua vektor. Diberikan vektor p = i - 3j + 2k dan q = 2i - j + 3k. Dalam notasi komponen, p = <1, -3, 2> dan q = <2, -1, 3>. 

Rumus dot product adalah p . q = |p| |q| cos(theta).

Hitung dot product p . q:
p . q = (1)(2) + (-3)(-1) + (2)(3)
p . q = 2 + 3 + 6
p . q = 11.

Hitung magnitudo |p|:
|p| = sqrt(1^2 + (-3)^2 + 2^2)
|p| = sqrt(1 + 9 + 4)
|p| = sqrt(14).

Hitung magnitudo |q|:
|q| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2)
|q| = sqrt(4 + 1 + 9)
|q| = sqrt(14).

Sekarang kita bisa mencari cos(theta):
cos(theta) = (p . q) / (|p| |q|)
cos(theta) = 11 / (sqrt(14) * sqrt(14))
cos(theta) = 11 / 14.

Untuk mencari tan(theta), kita perlu mencari sin(theta) terlebih dahulu menggunakan identitas trigonometri sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1.
sin^2(theta) = 1 - cos^2(theta)
sin^2(theta) = 1 - (11/14)^2
sin^2(theta) = 1 - 121/196
sin^2(theta) = (196 - 121) / 196
sin^2(theta) = 75 / 196.
sin(theta) = sqrt(75) / sqrt(196)
sin(theta) = sqrt(25 * 3) / 14
sin(theta) = 5 * sqrt(3) / 14.

Sekarang kita bisa mencari tan(theta):
tan(theta) = sin(theta) / cos(theta)
tan(theta) = (5 * sqrt(3) / 14) / (11 / 14)
tan(theta) = (5 * sqrt(3) / 14) * (14 / 11)
tan(theta) = 5 * sqrt(3) / 11.

Jadi, nilai tan theta adalah 5 * sqrt(3) / 11.