Jika tiga bilangan p,q, dan r membentuk barisan artimetik

3q^2 + 2d^2, di mana q adalah suku tengah dan d adalah beda barisan.

Pembahasan

Jika tiga bilangan p, q, dan r membentuk barisan aritmetika, maka berlaku sifat bahwa selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan. Ini berarti q - p = r - q, atau 2q = p + r.

Kita diminta untuk mencari nilai dari p^2 + q^2 + r^2.

Karena p, q, dan r membentuk barisan aritmetika, kita dapat menyatakan q dalam bentuk p dan r, yaitu q = (p + r) / 2.

Mengganti q ke dalam ekspresi yang dicari:
p^2 + q^2 + r^2 = p^2 + ((p + r) / 2)^2 + r^2
= p^2 + (p^2 + 2pr + r^2) / 4 + r^2
= (4p^2 + p^2 + 2pr + r^2 + 4r^2) / 4
= (5p^2 + 2pr + 5r^2) / 4

Atau, kita bisa menyatakan p dan r dalam bentuk q dan beda barisan (d). Misalkan beda barisan adalah d, maka p = q - d dan r = q + d.

Mengganti p dan r ke dalam ekspresi yang dicari:
p^2 + q^2 + r^2 = (q - d)^2 + q^2 + (q + d)^2
= (q^2 - 2qd + d^2) + q^2 + (q^2 + 2qd + d^2)
= 3q^2 + 2d^2

Tanpa mengetahui nilai spesifik p, q, r atau beda barisannya, kita tidak dapat memberikan nilai numerik tunggal. Namun, ekspresi p^2 + q^2 + r^2 dapat dinyatakan dalam bentuk suku tengah (q) dan beda barisan (d) sebagai 3q^2 + 2d^2.