Buktikanlah sifat-sifat limit berikut dengan memberikan

Sifat limit (f(x))^n dan (f(x))^(1/n) dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit atau sifat aljabar limit, serta contoh fungsi.

Pembahasan

Sifat-sifat limit yang perlu dibuktikan adalah:
a. limit x→a (f(x))^n = (limit x→a (f(x)))^n
Untuk membuktikan sifat ini, kita dapat menggunakan definisi limit secara formal atau dengan menggunakan sifat-sifat aljabar limit yang sudah diketahui. Namun, jika diminta untuk memberikan contoh, kita bisa menggunakan fungsi f(x) = x^2 dan a = 2, serta n = 3.
Limit x→2 (x^2)^3 = Limit x→2 x^6 = 2^6 = 64
(Limit x→2 x^2)^3 = (2^2)^3 = 4^3 = 64
Karena kedua hasil sama, sifat ini terbukti untuk contoh ini.

b. limit x→a (f(x))^(1/n) = (limit x→a (f(x)))^(1/n) dengan kondisi tertentu.
Jika n genap, limit x→a f(x) harus >= 0. Jika n ganjil, tidak ada batasan khusus pada tanda limit x→a f(x).
Contoh untuk n genap (n=2): Misalkan f(x) = x^2 dan a = 3.
Limit x→3 (x^2)^(1/2) = Limit x→3 |x| = |3| = 3
(Limit x→3 x^2)^(1/2) = (3^2)^(1/2) = 9^(1/2) = 3
Dalam kasus ini, limit x→a f(x) = 9 >= 0, sehingga sifat ini berlaku.

Contoh untuk n ganjil (n=3): Misalkan f(x) = x dan a = -8.
Limit x→-8 (x)^(1/3) = (-8)^(1/3) = -2
(Limit x→-8 x)^(1/3) = (-8)^(1/3) = -2
Dalam kasus ini, limit x→a f(x) = -8, dan karena n ganjil, sifat ini berlaku.