Jika vektor a=5i+5j, vektor b=i+3j, dan vektor c=vektor a+n

Nilai minimum panjang vektor c adalah $\sqrt{10}$.

Pembahasan

Diberikan vektor $a = 5i + 5j$ dan vektor $b = i + 3j$. Vektor $c$ didefinisikan sebagai $c = a + n 	imes b$, di mana $n$ adalah skalar.
Kita perlu mencari nilai minimum dari panjang vektor $c$. Pertama, kita substitusikan vektor $a$ dan $b$ ke dalam persamaan $c$:
$c = (5i + 5j) + n(i + 3j)$
$c = 5i + 5j + ni + 3nj$
Kelompokkan komponen $i$ dan $j$:
$c = (5 + n)i + (5 + 3n)j$
Panjang vektor $c$, dilambangkan dengan $|c|$, dihitung menggunakan rumus $\sqrt{x^2 + y^2}$, di mana $x$ adalah komponen $i$ dan $y$ adalah komponen $j$.
$|c| = \sqrt{(5+n)^2 + (5+3n)^2}$
Untuk mencari nilai minimum dari panjang vektor $c$, kita bisa mencari nilai minimum dari kuadrat panjang vektor $c$, yaitu $|c|^2$, karena akar kuadrat adalah fungsi monoton naik.
$|c|^2 = (5+n)^2 + (5+3n)^2$
$|c|^2 = (25 + 10n + n^2) + (25 + 30n + 9n^2)$
$|c|^2 = 10n^2 + 40n + 50$
Ini adalah fungsi kuadrat dalam $n$. Nilai minimum dari fungsi kuadrat $An^2 + Bn + C$ terjadi pada $n = -B / (2A)$.
Dalam kasus ini, $A=10$ dan $B=40$. Jadi, nilai $n$ yang memberikan panjang minimum adalah:
$n = -40 / (2 	imes 10)$
$n = -40 / 20$
$n = -2$
Sekarang, kita substitusikan nilai $n = -2$ kembali ke dalam persamaan panjang vektor $c$:
$|c| = \sqrt{(5+(-2))^2 + (5+3(-2))^2}$
$|c| = \sqrt{(3)^2 + (5-6)^2}$
$|c| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2}$
$|c| = \sqrt{9 + 1}$
$|c| = \sqrt{10}$
Jadi, nilai minimum dari panjang vektor $c$ adalah $\sqrt{10}$.