Jika x>0 dan y>0 , maka (9-9 log ^(2) x y)/(1-log x^(3)

Hasil penyederhanaan adalah 9(1 + log(xy)), dengan asumsi log^2(xy) berarti (log(xy))^2 dan basis logaritma tidak sama dengan 1.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi logaritma tersebut, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma. Asumsikan basis logaritma adalah 10 jika tidak disebutkan secara eksplisit, namun dalam konteks ini, tampaknya basis logaritma adalah 2 (log^2).

Ekspresi yang diberikan adalah:
(9 - 9 log^2(xy)) / (1 - log(x^3 y^2) + 2 log(x√y))

Kita akan menyederhanakan penyebutnya terlebih dahulu:

Penyebut = 1 - log(x^3 y^2) + 2 log(x√y)

Gunakan sifat logaritma log(a*b) = log(a) + log(b) dan log(a^n) = n log(a):
*   log(x^3 y^2) = log(x^3) + log(y^2) = 3 log(x) + 2 log(y)
*   log(x√y) = log(x * y^(1/2)) = log(x) + log(y^(1/2)) = log(x) + (1/2) log(y)

Substitusikan kembali ke penyebut:
Penyebut = 1 - (3 log(x) + 2 log(y)) + 2 (log(x) + (1/2) log(y))
Penyebut = 1 - 3 log(x) - 2 log(y) + 2 log(x) + log(y)
Penyebut = 1 - log(x) - log(y)

Gunakan sifat logaritma log(a) + log(b) = log(ab):
Penyebut = 1 - (log(x) + log(y))
Penyebut = 1 - log(xy)

Sekarang kita substitusikan kembali ke ekspresi awal:

Ekspresi = (9 - 9 log^2(xy)) / (1 - log(xy))

Perhatikan bahwa ini adalah bentuk a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
Kita bisa faktorkan 9 dari pembilang:

Pembilang = 9 (1 - log^2(xy))

Jadi, Ekspresi = 9 (1 - log^2(xy)) / (1 - log(xy))

Sekarang kita punya masalah jika log^2(xy) berarti (log(xy))^2 atau log(log(xy)).
Jika kita asumsikan log^2(xy) = (log(xy))^2, maka:

Ekspresi = 9 (1 - (log(xy))^2) / (1 - log(xy))

Gunakan identitas a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) di mana a=1 dan b=log(xy):
1 - (log(xy))^2 = (1 - log(xy))(1 + log(xy))

Ekspresi = 9 [(1 - log(xy))(1 + log(xy))] / (1 - log(xy))

Jika (1 - log(xy)) ≠ 0, kita bisa membatalkan:

Ekspresi = 9 (1 + log(xy))

Jika soalnya adalah logaritma basis 2, maka:
log^2(xy) bisa jadi (log_2(xy))^2
1 = log_2(2)

Ekspresi = (9 - 9 (log_2(xy))^2) / (log_2(2) - log_2(x^3 y^2) + 2 log_2(x(y^(1/2))))

Penyebut = log_2(2) - (3 log_2(x) + 2 log_2(y)) + 2 (log_2(x) + 1/2 log_2(y))
Penyebut = log_2(2) - 3 log_2(x) - 2 log_2(y) + 2 log_2(x) + log_2(y)
Penyebut = log_2(2) - log_2(x) - log_2(y)
Penyebut = log_2(2) - (log_2(x) + log_2(y))
Penyebut = log_2(2) - log_2(xy)
Penyebut = log_2(2/xy)

Pembilang = 9 - 9 (log_2(xy))^2 = 9 [1 - (log_2(xy))^2]
Pembilang = 9 [1 - log_2(xy)][1 + log_2(xy)]

Jika kita asumsikan penyebutnya adalah 1 - log(xy) seperti di awal dan basisnya tidak spesifik:
Ekspresi = 9(1 + log(xy))

Namun, jika kita lihat penulisan log^2(xy), ini bisa juga berarti log(log(xy)), yang akan jauh lebih kompleks.

Jika diasumsikan log^2(xy) berarti (log(xy))^2 dan basisnya adalah 10:
Ekspresi = 9(1 + log(xy)) = 9(log(10) + log(xy)) = 9 log(10xy)

Tanpa klarifikasi lebih lanjut mengenai notasi 'log^2' dan basis logaritma, jawaban paling umum berdasarkan interpretasi (log(xy))^2 adalah 9(1 + log(xy)). Jika diasumsikan basisnya adalah 2, maka jawabannya adalah 9(1 + log_2(xy)).

Jika kita menganggap basisnya adalah 'b', maka jawabannya adalah 9(1 + log_b(xy)).

Karena tidak ada pilihan jawaban yang diberikan, kita berikan bentuk paling sederhana.

Jawaban yang paling mungkin adalah menyederhanakan 
(9 - 9 (log xy)^2) / (1 - log xy) = 9(1 - (log xy)^2) / (1 - log xy) = 9(1 - log xy)(1 + log xy) / (1 - log xy) = 9(1 + log xy).

Dengan asumsi log xy tidak sama dengan 1 (basis logaritma).