Jika x^3-12x+k habis dibagi (x-2), maka juga habis dibagi

(x+4)

Pembahasan

Diketahui bahwa suku banyak $x^3 - 12x + k$ habis dibagi oleh $(x - 2)$. Ini berarti bahwa $(x - 2)$ adalah salah satu faktor dari suku banyak tersebut, dan jika kita substitusikan $x = 2$ ke dalam suku banyak, hasilnya akan sama dengan 0 (berdasarkan teorema sisa).

Mari kita substitusikan $x = 2$ ke dalam suku banyak:
$$(2)^3 - 12(2) + k = 0$$ 
$$8 - 24 + k = 0$$ 
$$-16 + k = 0$$ 
$$k = 16$$ 

Sekarang kita tahu bahwa suku banyak tersebut adalah $x^3 - 12x + 16$. Karena $(x - 2)$ habis membagi suku banyak ini, maka $(x - 2)$ adalah salah satu faktornya. Untuk mencari faktor lainnya, kita bisa melakukan pembagian polinomial atau menggunakan metode Horner.

Menggunakan metode Horner dengan pembagi $(x - 2)$ (yaitu akar $x=2$):
```
2 | 1   0   -12   16
  |     2     4   -16
  ------------------
    1   2    -8     0
```

Hasil pembagiannya adalah $x^2 + 2x - 8$.

Sekarang kita faktorkan hasil pembagian $x^2 + 2x - 8$:
$$x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$$ 

Jadi, suku banyak $x^3 - 12x + 16$ dapat difaktorkan menjadi $(x - 2)(x + 4)(x - 2) = (x - 2)^2(x + 4)$.

Karena suku banyak tersebut habis dibagi oleh $(x - 2)$, dan hasil pemfaktorannya adalah $(x - 2)^2(x + 4)$, maka suku banyak tersebut juga habis dibagi oleh faktor-faktor lainnya, yaitu $(x - 2)$ (lagi) dan $(x + 4)$.

Pilihan yang tersedia biasanya berupa faktor linear. Dari pemfaktoran, kita melihat bahwa $(x+4)$ adalah faktor lain yang membagi habis suku banyak tersebut.