Jika (x^4+x^3+mx^2+11x+n):(x^2-2x+3) sisanya 3-2x. Tentukan

m = -5, n = -3, dan hasil bagi = x^2 + 3x - 2.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan nilai m, n, dan hasil bagi dari pembagian polinomial.
Polinomial yang dibagi adalah P(x) = x^4 + x^3 + mx^2 + 11x + n.
Pembagi adalah D(x) = x^2 - 2x + 3.
Sisa pembagian adalah S(x) = 3 - 2x.

Kita dapat menggunakan konsep pembagian polinomial:
P(x) = D(x) * H(x) + S(x)

Di mana H(x) adalah hasil bagi.
Karena derajat P(x) adalah 4 dan derajat D(x) adalah 2, maka derajat H(x) adalah 4 - 2 = 2. Misalkan H(x) = Ax^2 + Bx + C.

Karena koefisien x^4 di P(x) adalah 1 dan di D(x) adalah 1, maka koefisien x^2 di H(x) juga harus 1. Jadi, A = 1.
H(x) = x^2 + Bx + C.

Sekarang kita substitusikan P(x), D(x), H(x), dan S(x) ke dalam persamaan:

x^4 + x^3 + mx^2 + 11x + n = (x^2 - 2x + 3)(x^2 + Bx + C) + (3 - 2x)

Mari kita ekspansi perkalian D(x) * H(x):
(x^2 - 2x + 3)(x^2 + Bx + C) = x^2(x^2 + Bx + C) - 2x(x^2 + Bx + C) + 3(x^2 + Bx + C)
= (x^4 + Bx^3 + Cx^2) - (2x^3 + 2Bx^2 + 2Cx) + (3x^2 + 3Bx + 3C)
= x^4 + Bx^3 + Cx^2 - 2x^3 - 2Bx^2 - 2Cx + 3x^2 + 3Bx + 3C
= x^4 + (B-2)x^3 + (C - 2B + 3)x^2 + (-2C + 3B)x + 3C

Sekarang tambahkan sisa pembagian:
(x^4 + (B-2)x^3 + (C - 2B + 3)x^2 + (-2C + 3B)x + 3C) + (3 - 2x)
= x^4 + (B-2)x^3 + (C - 2B + 3)x^2 + (-2C + 3B - 2)x + (3C + 3)

Sekarang kita samakan koefisien dari polinomial hasil ekspansi ini dengan koefisien dari P(x) = x^4 + x^3 + mx^2 + 11x + n.

Koefisien x^3:
B - 2 = 1
B = 1 + 2
B = 3

Koefisien x:
-2C + 3B - 2 = 11
-2C + 3(3) - 2 = 11
-2C + 9 - 2 = 11
-2C + 7 = 11
-2C = 11 - 7
-2C = 4
C = -2

Sekarang kita dapat menentukan nilai m dan n menggunakan koefisien x^2 dan konstanta.

Koefisien x^2:
m = C - 2B + 3
m = (-2) - 2(3) + 3
m = -2 - 6 + 3
m = -8 + 3
m = -5

Konstanta (koefisien x^0):
n = 3C + 3
n = 3(-2) + 3
n = -6 + 3
n = -3

Jadi, nilai m = -5 dan n = -3.

Hasil baginya adalah H(x) = x^2 + Bx + C = x^2 + 3x - 2.

Untuk memverifikasi, mari kita periksa pembagiannya:
(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 3x - 2) + (3 - 2x)
= x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 2x^3 - 6x^2 + 4x + 3x^2 + 9x - 6 + 3 - 2x
= x^4 + (3-2)x^3 + (-2-6+3)x^2 + (4+9-2)x + (-6+3)
= x^4 + x^3 + (-5)x^2 + 11x - 3

Polinomial hasil perkalian + sisa:
x^4 + x^3 - 5x^2 + 11x - 3 + (3 - 2x)
= x^4 + x^3 - 5x^2 + (11-2)x + (-3+3)
= x^4 + x^3 - 5x^2 + 9x

Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan koefisien x.

Mari kita ulangi perhitungan koefisien x:
Koefisien x pada P(x) adalah 11.
Koefisien x pada hasil D(x)*H(x) adalah (-2C + 3B).
Koefisien x pada sisa S(x) adalah -2.
Jadi, harusnya:
(-2C + 3B) + (-2) = 11
-2C + 3B - 2 = 11
-2C + 3B = 13

Kita sudah punya B = 3.
-2C + 3(3) = 13
-2C + 9 = 13
-2C = 13 - 9
-2C = 4
C = -2

Perhitungan B dan C sudah benar.
Mari kita cek kembali koefisien x^2:
m = C - 2B + 3
m = (-2) - 2(3) + 3
m = -2 - 6 + 3
m = -5

Konstanta:
n = 3C + 3
n = 3(-2) + 3
n = -6 + 3
n = -3

Koefisien x pada P(x) adalah 11.
Koefisien x pada hasil ekspansi:
(-2C + 3B)x
-2C + 3B = -2(-2) + 3(3) = 4 + 9 = 13

Koefisien x pada sisa: -2x
Jadi, koefisien x total setelah penambahan sisa adalah (13)x + (-2x) = 11x.
Ini sesuai dengan P(x) yang memiliki koefisien x sebesar 11.

Jadi, nilai m = -5 dan n = -3 sudah benar.

Hasil baginya adalah H(x) = x^2 + Bx + C = x^2 + 3x - 2.

Kesimpulan:
Nilai m = -5
Nilai n = -3
Hasil bagi = x^2 + 3x - 2