Jika (x,y)=(a,b) adalah penyelesaian dari sistem persamaan

14.4

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari nilai terbesar dari |a+b| di mana (a,b) adalah solusi dari sistem persamaan yang diberikan.

Sistem Persamaan:
x^2 + 9y^2 + 6xy - 6x - 18y = 40
x - 2y = -30

Dari persamaan kedua, kita bisa menyatakan x dalam bentuk y: x = 2y - 30.

Substitusikan x ke dalam persamaan pertama:
(2y - 30)^2 + 9y^2 + 6(2y - 30)y - 6(2y - 30) - 18y = 40
(4y^2 - 120y + 900) + 9y^2 + (12y^2 - 180y) - (12y - 180) - 18y = 40
4y^2 - 120y + 900 + 9y^2 + 12y^2 - 180y - 12y + 180 - 18y = 40
(4 + 9 + 12)y^2 + (-120 - 180 - 12 - 18)y + (900 + 180) = 40
25y^2 - 330y + 1080 = 40
25y^2 - 330y + 1040 = 0

Bagi dengan 5:
5y^2 - 66y + 208 = 0

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai y:
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
y = [66 ± sqrt((-66)^2 - 4 * 5 * 208)] / (2 * 5)
y = [66 ± sqrt(4356 - 4160)] / 10
y = [66 ± sqrt(196)] / 10
y = [66 ± 14] / 10

Jadi, ada dua nilai y:
y1 = (66 + 14) / 10 = 80 / 10 = 8
y2 = (66 - 14) / 10 = 52 / 10 = 5.2

Sekarang cari nilai x yang sesuai:
Jika y1 = 8, maka x1 = 2(8) - 30 = 16 - 30 = -14.
Pasangan solusi (a,b) = (-14, 8).
|a+b| = |-14 + 8| = |-6| = 6.

Jika y2 = 5.2, maka x2 = 2(5.2) - 30 = 10.4 - 30 = -19.6.
Pasangan solusi (a,b) = (-19.6, 5.2).
|a+b| = |-19.6 + 5.2| = |-14.4| = 14.4.

Nilai |a+b| yang terbesar adalah 14.4.