Jumlah akar-akar persamaan

Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah 7.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah (x - 1)^(x^2 - 7x + 10) = (2x - 3)^(x^2 - 7x + 10).

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial dengan bentuk a^f(x) = b^f(x), kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus:

Kasus 1: Pangkatnya sama dengan nol, yaitu f(x) = 0.
Jika x^2 - 7x + 10 = 0, maka kedua sisi persamaan akan menjadi (x - 1)^0 dan (2x - 3)^0, yang keduanya bernilai 1 (asalkan basisnya tidak nol).
Faktorkan x^2 - 7x + 10 = 0:
(x - 2)(x - 5) = 0
Maka, x = 2 atau x = 5.

Jika x = 2:
Basis kiri = x - 1 = 2 - 1 = 1 (tidak nol).
Basis kanan = 2x - 3 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 (tidak nol).
Jadi, x = 2 adalah solusi.

Jika x = 5:
Basis kiri = x - 1 = 5 - 1 = 4 (tidak nol).
Basis kanan = 2x - 3 = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7 (tidak nol).
Jadi, x = 5 adalah solusi.

Kasus 2: Basisnya sama, yaitu a = b.
 x - 1 = 2x - 3
 -1 + 3 = 2x - x
 2 = x
Maka, x = 2.
Dalam kasus ini, pangkatnya harus terdefinisi. Kita sudah periksa di Kasus 1 bahwa jika x = 2, pangkatnya adalah 2^2 - 7(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0. Jadi, x = 2 adalah solusi.

Kasus 3: Basisnya berlawanan tanda dan pangkatnya genap.
 a = -b dan f(x) adalah genap.
 x - 1 = -(2x - 3)
 x - 1 = -2x + 3
 x + 2x = 3 + 1
 3x = 4
x = 4/3

Sekarang kita periksa apakah pangkatnya genap untuk x = 4/3:
 f(4/3) = (4/3)^2 - 7(4/3) + 10
 f(4/3) = 16/9 - 28/3 + 10
 f(4/3) = 16/9 - 84/9 + 90/9
 f(4/3) = (16 - 84 + 90) / 9
 f(4/3) = 22/9

Karena 22/9 bukan bilangan bulat genap, maka x = 4/3 bukan solusi dari kasus ini.

Solusi yang kita temukan adalah x = 2 dan x = 5.
Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah 2 + 5 = 7.