Tentukan interval x agar kurva fungsi f(x) berikut dalam

Kurva fungsi f(x) = $\sqrt{x^2+1}$ selalu turun pada interval $x < 0$. Kurva fungsi f(x) = $\frac{x-1}{x^2-2}$ selalu turun pada semua interval di mana fungsi tersebut terdefinisi ($x \neq \pm\sqrt{2}$).

Pembahasan

Untuk menentukan interval x agar kurva fungsi f(x) selalu turun, kita perlu mencari turunan pertama f'(x) dan menentukan kapan f'(x) < 0.

Untuk f(x) = $\sqrt{x^2+1}$, maka $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Agar f'(x) < 0, maka $x < 0$.

Untuk f(x) = $\frac{x-1}{x^2-2}$, maka $f'(x) = \frac{(x^2-2) - (x-1)(2x)}{(x^2-2)^2} = \frac{x^2-2-2x^2+2x}{(x^2-2)^2} = \frac{-x^2+2x-2}{(x^2-2)^2}$. Agar f'(x) < 0, maka $-x^2+2x-2 < 0$, atau $x^2-2x+2 > 0$. Diskriminannya adalah $(-2)^2 - 4(1)(2) = 4-8 = -4$. Karena diskriminan negatif dan koefisien $x^2$ positif, maka $x^2-2x+2$ selalu positif untuk semua x. Jadi, f(x) selalu turun untuk semua x di mana f(x) terdefinisi (yaitu $x \neq \pm\sqrt{2}$).