Jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua

Nilai maksimum hasil kedua bilangan tersebut adalah $108\sqrt{2}$.

Pembahasan

Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y.
Diketahui bahwa jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua adalah 54. Ini dapat ditulis sebagai persamaan:
x + y^2 = 54

Kita ingin menentukan nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut, yaitu hasil kali x dan y, yang kita sebut P:
P = xy

Kita dapat mengekspresikan x dari persamaan pertama:
x = 54 - y^2

Kemudian substitusikan ekspresi x ke dalam persamaan P:
P = (54 - y^2)y
P = 54y - y^3

Untuk mencari nilai maksimum dari P, kita perlu mencari turunan pertama P terhadap y dan menyetelnya sama dengan nol:
$\frac{dP}{dy} = \frac{d}{dy}(54y - y^3)$
$\frac{dP}{dy} = 54 - 3y^2$

Setel turunan pertama sama dengan nol:
$54 - 3y^2 = 0$
$3y^2 = 54$
$y^2 = \frac{54}{3}$
$y^2 = 18$
$y = \pm \sqrt{18}$
$y = \pm 3\sqrt{2}$.

Sekarang kita perlu memeriksa apakah nilai-nilai y ini menghasilkan maksimum. Kita gunakan turunan kedua:
$\frac{d^2P}{dy^2} = \frac{d}{dy}(54 - 3y^2) = -6y$.

Jika $y = 3\sqrt{2}$, maka $\frac{d^2P}{dy^2} = -6(3\sqrt{2}) = -18\sqrt{2}$. Karena turunan kedua negatif, ini menunjukkan nilai maksimum.
Jika $y = -3\sqrt{2}$, maka $\frac{d^2P}{dy^2} = -6(-3\sqrt{2}) = 18\sqrt{2}$. Karena turunan kedua positif, ini menunjukkan nilai minimum.

Jadi, nilai y yang memberikan hasil maksimum adalah $y = 3\sqrt{2}$.

Sekarang kita cari nilai x yang sesuai:
x = 54 - y^2
x = 54 - (3\sqrt{2})^2
x = 54 - (9 \times 2)
x = 54 - 18
x = 36.

Nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut adalah P = xy:
P = (36)(3\sqrt{2})
P = 108\sqrt{2}.

Jadi, nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut adalah $108\sqrt{2}$.