Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua
Pertanyaan
Jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua adalah 54. Tentukan nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut.
Solusi
Verified
Nilai maksimum hasil kedua bilangan tersebut adalah $108\sqrt{2}$.
Pembahasan
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y. Diketahui bahwa jumlah bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua adalah 54. Ini dapat ditulis sebagai persamaan: x + y^2 = 54 Kita ingin menentukan nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut, yaitu hasil kali x dan y, yang kita sebut P: P = xy Kita dapat mengekspresikan x dari persamaan pertama: x = 54 - y^2 Kemudian substitusikan ekspresi x ke dalam persamaan P: P = (54 - y^2)y P = 54y - y^3 Untuk mencari nilai maksimum dari P, kita perlu mencari turunan pertama P terhadap y dan menyetelnya sama dengan nol: $\frac{dP}{dy} = \frac{d}{dy}(54y - y^3)$ $\frac{dP}{dy} = 54 - 3y^2$ Setel turunan pertama sama dengan nol: $54 - 3y^2 = 0$ $3y^2 = 54$ $y^2 = \frac{54}{3}$ $y^2 = 18$ $y = \pm \sqrt{18}$ $y = \pm 3\sqrt{2}$. Sekarang kita perlu memeriksa apakah nilai-nilai y ini menghasilkan maksimum. Kita gunakan turunan kedua: $\frac{d^2P}{dy^2} = \frac{d}{dy}(54 - 3y^2) = -6y$. Jika $y = 3\sqrt{2}$, maka $\frac{d^2P}{dy^2} = -6(3\sqrt{2}) = -18\sqrt{2}$. Karena turunan kedua negatif, ini menunjukkan nilai maksimum. Jika $y = -3\sqrt{2}$, maka $\frac{d^2P}{dy^2} = -6(-3\sqrt{2}) = 18\sqrt{2}$. Karena turunan kedua positif, ini menunjukkan nilai minimum. Jadi, nilai y yang memberikan hasil maksimum adalah $y = 3\sqrt{2}$. Sekarang kita cari nilai x yang sesuai: x = 54 - y^2 x = 54 - (3\sqrt{2})^2 x = 54 - (9 \times 2) x = 54 - 18 x = 36. Nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut adalah P = xy: P = (36)(3\sqrt{2}) P = 108\sqrt{2}. Jadi, nilai maksimum dari hasil kedua bilangan tersebut adalah $108\sqrt{2}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Optimasi, Turunan
Section: Mencari Nilai Maksimum Minimum
Apakah jawaban ini membantu?