Keliling suatu persegi adalah 80 cm . Dengan menghubungkan

Keliling seluruh persegi yang ada adalah 160 + 80√2 cm.

Pembahasan

Berikut adalah pembahasan soal kedua:
Diketahui:
Keliling persegi pertama (K1) = 80 cm
Titik-titik tengah sisi-sisi persegi dihubungkan untuk membuat persegi kedua, dan seterusnya.

Ditanya: Keliling seluruh persegi yang ada.

Analisis:
Persegi pertama memiliki keliling K1 = 80 cm. Sisi persegi pertama (s1) = K1 / 4 = 80 / 4 = 20 cm.
Ketika titik-titik tengah sisi-sisi persegi dihubungkan, terbentuk persegi kedua. Diagonal persegi kedua sama dengan sisi persegi pertama. Sisi persegi kedua (s2) adalah setengah dari diagonal persegi pertama.
Diagonal persegi pertama (d1) = s1 * sqrt(2) = 20 * sqrt(2) cm.
Sisi persegi kedua (s2) = d1 / 2 = (20 * sqrt(2)) / 2 = 10 * sqrt(2) cm.
Keliling persegi kedua (K2) = 4 * s2 = 4 * (10 * sqrt(2)) = 40 * sqrt(2) cm.

Perhatikan bahwa keliling setiap persegi baru adalah 1/sqrt(2) kali keliling persegi sebelumnya, atau dapat dikatakan kelilingnya berkurang dengan rasio 1/sqrt(2).
Ini membentuk deret geometri tak hingga dengan:
Suku pertama (a) = K1 = 80
Rasio (r) = K2 / K1 = (40 * sqrt(2)) / 80 = sqrt(2) / 2 = 1/sqrt(2)

Karena |r| < 1, deret ini konvergen. Jumlah deret geometri tak hingga (S) diberikan oleh rumus:
S = a / (1 - r)

S = 80 / (1 - 1/sqrt(2))
S = 80 / ((sqrt(2) - 1) / sqrt(2))
S = (80 * sqrt(2)) / (sqrt(2) - 1)

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan (sqrt(2) + 1):
S = (80 * sqrt(2) * (sqrt(2) + 1)) / ((sqrt(2) - 1) * (sqrt(2) + 1))
S = (80 * (2 + sqrt(2))) / (2 - 1)
S = 80 * (2 + sqrt(2))
S = 160 + 80 * sqrt(2)

Jadi, keliling seluruh persegi yang ada adalah 160 + 80 * sqrt(2) cm.