Tentukan nilai lim _(x -> 0) (3 x+sin 2 x)/(2 x-sin x) !

Nilai limitnya adalah 5.

Pembahasan

Berikut adalah pembahasan soal ketiga:

Kita perlu mencari nilai dari limit:
lim (x -> 0) (3x + sin 2x) / (2x - sin x)

Jika kita substitusikan x = 0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
0/0

Kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor untuk sin x.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Karena bentuknya 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang: d/dx (3x + sin 2x) = 3 + 2 cos 2x
Turunan penyebut: d/dx (2x - sin x) = 2 - cos x

Mengambil limit lagi setelah diturunkan:
lim (x -> 0) (3 + 2 cos 2x) / (2 - cos x)

Substitusikan x = 0:
(3 + 2 cos(0)) / (2 - cos(0))
= (3 + 2 * 1) / (2 - 1)
= (3 + 2) / 1
= 5 / 1
= 5

Metode 2: Ekspansi Deret Taylor
Kita tahu bahwa untuk x mendekati 0, sin x ≈ x dan sin 2x ≈ 2x.

Substitusikan aproksimasi ini ke dalam limit:
lim (x -> 0) (3x + 2x) / (2x - x)
= lim (x -> 0) (5x) / (x)
= lim (x -> 0) 5
= 5

Untuk aproksimasi yang lebih akurat, kita bisa menggunakan deret Taylor untuk sin x:
sin x = x - x^3/3! + ...
sin 2x = 2x - (2x)^3/3! + ...

(3x + sin 2x) / (2x - sin x) = (3x + (2x - (2x)^3/6 + ...)) / (2x - (x - x^3/6 + ...))
= (5x - 8x^3/6 + ...) / (x + x^3/6 + ...)

Untuk x mendekati 0, suku-suku dengan pangkat x yang lebih tinggi akan menjadi sangat kecil.
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x:
= (5 - 8x^2/6 + ...) / (1 + x^2/6 + ...)

Saat x -> 0:
= (5 - 0) / (1 + 0)
= 5

Jadi, nilai dari lim (x -> 0) (3x + sin 2x) / (2x - sin x) adalah 5.