Kerjakan soal berikut! lim x->2 3/(x-2)

-3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 2} \frac{3}{x-2} \left(\frac{1}{2x^2-x-3} - \frac{2}{x^2+x}\right)$, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam kurung terlebih dahulu.

Cari KPK dari penyebut di dalam kurung: $(2x^2-x-3)$ dan $(x^2+x)$.
Faktorkan penyebut:
$2x^2-x-3 = (2x-3)(x+1)$
$x^2+x = x(x+1)$

KPK dari kedua penyebut adalah $x(x+1)(2x-3)$.

Sekarang samakan penyebut di dalam kurung:
$\frac{1}{2x^2-x-3} - \frac{2}{x^2+x} = \frac{1}{(2x-3)(x+1)} - \frac{2}{x(x+1)}$
$= \frac{x}{(x+1)(2x-3)x} - \frac{2(2x-3)}{x(x+1)(2x-3)}$
$= \frac{x - (4x-6)}{x(x+1)(2x-3)}$
$= \frac{x - 4x + 6}{x(x+1)(2x-3)}$
$= \frac{-3x + 6}{x(x+1)(2x-3)}$
$= \frac{-3(x-2)}{x(x+1)(2x-3)}$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 2} \frac{3}{x-2} \left(\frac{-3(x-2)}{x(x+1)(2x-3)}\right)$

Batalkan faktor $(x-2)$ karena $x \to 2$ berarti $x \neq 2$:
$\lim_{x \to 2} \frac{3}{1} \left(\frac{-3}{x(x+1)(2x-3)}\right)$
$= \lim_{x \to 2} \frac{-9}{x(x+1)(2x-3)}$

Sekarang substitusikan $x=2$ ke dalam ekspresi yang tersisa:
$= \frac{-9}{2(2+1)(2(2)-3)}$
$= \frac{-9}{2(3)(4-3)}$
$= \frac{-9}{2(3)(1)}$
$= \frac{-9}{6}$
$= -\frac{3}{2}$

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah $-3/2$.