Kita ingin menjumlahkan 1+11+111+...+1...1 2014.

Pernyataan 1+11+111+1111=1/9((10^5-10)/9-5) tidak benar. Hasil penjumlahan adalah 1234, sedangkan evaluasi ekspresi di sisi kanan menghasilkan 11105/9.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 1+11+111+1111 = 1/9((10^5-10)/9-5), kita perlu menjumlahkan angka-angka tersebut terlebih dahulu:
1 + 11 + 111 + 1111 = 1234

Sekarang, mari kita evaluasi ekspresi di sisi kanan:
1/9((10^5-10)/9-5) = 1/9((100000-10)/9-5)
= 1/9(99990/9-5)
= 1/9(11110-5)
= 1/9(11105)
= 11105/9

Karena 1234 tidak sama dengan 11105/9, pernyataan tersebut tidak benar. Namun, jika kita melihat pola umum dari penjumlahan 1+11+111+...+1...1 (sebanyak n angka 1):
Angka-angka tersebut dapat ditulis sebagai:
1 = (10^1 - 1)/9
11 = (10^2 - 1)/9
111 = (10^3 - 1)/9
... 
1...1 (n angka 1) = (10^n - 1)/9

Jadi, jumlahnya adalah:
S = 1/9 * [ (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + ... + (10^n - 1) ]
S = 1/9 * [ (10^1 + 10^2 + ... + 10^n) - n ]
Ini adalah deret geometri dengan a=10, r=10, dan n suku. Jumlahnya adalah a(r^n - 1)/(r-1) = 10(10^n - 1)/(10-1) = 10/9 * (10^n - 1).

Maka, S = 1/9 * [ 10/9 * (10^n - 1) - n ]

Untuk n=4:
S = 1/9 * [ 10/9 * (10^4 - 1) - 4 ]
S = 1/9 * [ 10/9 * (9999) - 4 ]
S = 1/9 * [ 10 * 1111 - 4 ]
S = 1/9 * [ 11110 - 4 ]
S = 1/9 * [ 11106 ]
S = 11106 / 9 = 1234

Jadi, 1+11+111+1111 = 1234.

Perbandingan dengan soal yang diberikan: 1/9((10^5-10)/9-5) = 1/9(11110-5) = 11105/9. Ini berbeda dengan hasil penjumlahan 1234. Mungkin ada kesalahan ketik dalam soal yang diberikan, seharusnya 1/9(10/9(10^4-1)-4) atau sesuatu yang serupa.