Koefisien dari x^3y^3 dalam ekspansi (-2x+y)^6 adalah . . .

-160

Pembahasan

Untuk mencari koefisien dari $x^3y^3$ dalam ekspansi $(-2x+y)^6$, kita dapat menggunakan Teorema Binomial. Teorema Binomial menyatakan bahwa ekspansi dari $(a+b)^n$ adalah:
$(a+b)^n = inom{n}{0}a^n b^0 + inom{n}{1}a^{n-1}b^1 + inom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + inom{n}{k}a^{n-k}b^k + ... + inom{n}{n}a^0 b^n$
Dalam kasus ini, $a = -2x$, $b = y$, dan $n = 6$. Kita mencari suku di mana pangkat $x$ adalah 3 dan pangkat $y$ adalah 3. Dalam rumus umum, ini sesuai dengan suku $inom{n}{k}a^{n-k}b^k$ di mana $n-k = 3$ dan $k = 3$. Karena $n=6$, maka $6-k=3$ menghasilkan $k=3$. Jadi kita mencari suku dengan $k=3$:
Suku tersebut adalah $inom{6}{3}(-2x)^{6-3}(y)^3$
Hitung koefisien binomial $inom{6}{3}$:
$inom{6}{3} = rac{6!}{3!(6-3)!} = rac{6!}{3!3!} = rac{(6 	imes 5 	imes 4)}{(3 	imes 2 	imes 1)} = 20$.
Sekarang hitung bagian $(-2x)^3$:
$(-2x)^3 = (-2)^3 x^3 = -8x^3$.
Jadi, suku tersebut adalah $20 	imes (-8x^3) 	imes y^3 = -160x^3y^3$.
Koefisien dari $x^3y^3$ adalah -160.