Koordinat Cartesius titik A adalah (-4, b) dan koordinat

b = 4√3, θ = 2/3 π

Pembahasan

Diketahui koordinat Cartesius titik A adalah (-4, b) dan koordinat kutubnya (8, θ).

Dalam koordinat kutub, jarak dari titik asal ke titik A adalah r = 8, dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif adalah θ.

Hubungan antara koordinat Cartesius (x, y) dan koordinat kutub (r, θ) adalah:
x = r cos θ
y = r sin θ

Kita diberikan x = -4 dan r = 8.
Maka, -4 = 8 cos θ
cos θ = -4/8
cos θ = -1/2

Karena cos θ negatif, sudut θ berada di kuadran II atau III.

Selanjutnya, kita tahu bahwa y = b dan y = r sin θ.
Maka, b = 8 sin θ.

Untuk mencari nilai b, kita perlu mengetahui nilai sin θ.
Dari cos θ = -1/2, kita bisa mencari sin θ menggunakan identitas trigonometri sin^2 θ + cos^2 θ = 1.
sin^2 θ + (-1/2)^2 = 1
sin^2 θ + 1/4 = 1
sin^2 θ = 1 - 1/4
sin^2 θ = 3/4
sin θ = ±√(3/4)
sin θ = ±√3/2

Karena titik A memiliki koordinat x negatif (-4), titik A berada di kuadran II atau III. Jika θ di kuadran II, sin θ positif (√3/2). Jika θ di kuadran III, sin θ negatif (-√3/2).

Jika kita asumsikan θ berada di kuadran II (karena biasanya sudut kutub diambil dalam rentang [0, π] atau [0, 180°] jika tidak ditentukan lain), maka:
cos θ = -1/2 => θ = 2/3 π
sin θ = √3/2

Maka, b = 8 * (√3/2) = 4√3.

Jadi, nilai b adalah 4√3 dan nilai θ adalah 2/3 π (atau 120°).