Koordinat titik balik maksimum fungsi f(x)=1/4 x^4-2

Koordinat titik balik maksimumnya adalah (3, 67/4).

Pembahasan

Untuk menemukan koordinat titik balik maksimum dari fungsi f(x) = 1/4 x^4 - 2x^3 + 5/2 x^2 + 12x - 9, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
 f'(x) = d/dx (1/4 x^4 - 2x^3 + 5/2 x^2 + 12x - 9)
 f'(x) = (1/4) * 4x^3 - 2 * 3x^2 + (5/2) * 2x + 12
 f'(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 12

Langkah 2: Cari titik kritis dengan menyetarakan f'(x) = 0.
 x^3 - 6x^2 + 5x + 12 = 0

Kita perlu mencari akar-akar dari persamaan polinomial ini. Kita bisa mencoba memfaktorkan atau menggunakan metode numerik. Mari kita coba beberapa nilai bulat yang membagi konstanta 12 (yaitu ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12).

Coba x = -1:
(-1)^3 - 6(-1)^2 + 5(-1) + 12 = -1 - 6 - 5 + 12 = 0. Jadi, x = -1 adalah salah satu akar.
Ini berarti (x + 1) adalah salah satu faktornya.

Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau sintetik untuk menemukan faktor lainnya:
Dengan pembagian sintetik menggunakan -1:
 -1 | 1  -6   5   12
   |   -1   7  -12
   ----------------
     1  -7  12    0

Hasilnya adalah x^2 - 7x + 12.

Jadi, f'(x) = (x + 1)(x^2 - 7x + 12).
Sekarang faktorkan kuadratik x^2 - 7x + 12:
(x - 3)(x - 4).

Sehingga, f'(x) = (x + 1)(x - 3)(x - 4).
Titik-titik kritisnya adalah x = -1, x = 3, dan x = 4.

Langkah 3: Cari turunan kedua f''(x).
 f''(x) = d/dx (x^3 - 6x^2 + 5x + 12)
 f''(x) = 3x^2 - 12x + 5

Langkah 4: Uji titik kritis menggunakan turunan kedua (Uji Turunan Kedua).
- Untuk x = -1:
 f''(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 3 + 12 + 5 = 20.
 Karena f''(-1) > 0, maka x = -1 adalah titik balik minimum.

- Untuk x = 3:
 f''(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 5 = 3(9) - 36 + 5 = 27 - 36 + 5 = -4.
 Karena f''(3) < 0, maka x = 3 adalah titik balik maksimum.

- Untuk x = 4:
 f''(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 5 = 3(16) - 48 + 5 = 48 - 48 + 5 = 5.
 Karena f''(4) > 0, maka x = 4 adalah titik balik minimum.

Titik balik maksimum terjadi pada x = 3.

Langkah 5: Cari koordinat y dari titik balik maksimum dengan mensubstitusikan x = 3 ke fungsi asli f(x).
 f(3) = 1/4 (3)^4 - 2(3)^3 + 5/2 (3)^2 + 12(3) - 9
 f(3) = 1/4 (81) - 2(27) + 5/2 (9) + 36 - 9
 f(3) = 81/4 - 54 + 45/2 + 27
 f(3) = 20.25 - 54 + 22.5 + 27
 f(3) = 70.75 - 54
 f(3) = 16.75

Jadi, koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut adalah (3, 16.75).
Dalam bentuk pecahan, 16.75 = 16 3/4 = 67/4.

Koordinat titik balik maksimum fungsi f(x) = 1/4 x^4 - 2x^3 + 5/2 x^2 + 12x - 9 adalah (3, 67/4).