Kubus A B C D . E F G H dengan rusuk akar(12) cm . Titik Q

Jarak titik A ke bidang QBF adalah $\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik A ke bidang QB F pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk $\sqrt{12}$ cm dan titik Q pada AD sehingga AQ = 2 cm, kita perlu menggunakan konsep proyeksi vektor atau metode analitik.

Misalkan kita letakkan titik A pada pusat koordinat (0, 0, 0).
Rusuk kubus = $s = \sqrt{12}$ cm.
Karena A = (0, 0, 0), maka:
B = ($s$, 0, 0) = ($\sqrt{12}$, 0, 0)
C = ($s$, $s$, 0) = ($\sqrt{12}$, $\sqrt{12}$, 0)
D = (0, $s$, 0) = (0, $\sqrt{12}$, 0)
E = (0, 0, $s$) = (0, 0, $\sqrt{12}$)
F = ($s$, 0, $s$) = ($\sqrt{12}$, 0, $\sqrt{12}$)
G = ($s$, $s$, $s$) = ($\sqrt{12}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{12}$)
H = (0, $s$, $s$) = (0, $\sqrt{12}$, $\sqrt{12}$)

Titik Q terletak pada AD, sehingga Q = (0, y, 0). Karena AQ = 2 cm dan A = (0,0,0), maka Q = (0, 2, 0).

Kita perlu mencari jarak dari titik A(0, 0, 0) ke bidang QB F.

Persamaan bidang QB F:
Titik Q = (0, 2, 0)
Titik B = ($\sqrt{12}$, 0, 0)
Titik F = ($\sqrt{12}$, 0, $\sqrt{12}$)

Untuk mencari persamaan bidang, kita perlu vektor normal bidang. Kita dapat mencari dua vektor pada bidang, misalnya $\vec{QB}$ dan $\vec{QF}$.
$\vec{QB} = B - Q = (\sqrt{12}, 0, 0) - (0, 2, 0) = (\sqrt{12}, -2, 0)$
$\vec{QF} = F - Q = (\sqrt{12}, 0, \sqrt{12}) - (0, 2, 0) = (\sqrt{12}, -2, \sqrt{12})$

Vektor normal bidang $\vec{n}$ adalah hasil perkalian silang $\vec{QB} \times \vec{QF}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \sqrt{12} & -2 & 0 \\ \sqrt{12} & -2 & \sqrt{12} \end{vmatrix}$
$\vec{n} = i((-2)(\sqrt{12}) - (0)(-2)) - j((\sqrt{12})(\sqrt{12}) - (0)(\sqrt{12})) + k((\sqrt{12})(-2) - (-2)(\sqrt{12}))$
$\vec{n} = i(-2\sqrt{12}) - j(12) + k(-2\sqrt{12} + 2\sqrt{12})$
$\vec{n} = -2\sqrt{12}i - 12j + 0k$
$\vec{n} = (-2\sqrt{12}, -12, 0)$
Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membagi dengan -2:
$\vec{n'} = (\sqrt{12}, 6, 0)$

Persamaan bidang dengan normal $(A, B, C)$ dan melalui titik $(x_0, y_0, z_0)$ adalah $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Menggunakan titik Q(0, 2, 0) dan normal $\vec{n'} = (\sqrt{12}, 6, 0)$:
$\sqrt{12}(x-0) + 6(y-2) + 0(z-0) = 0$
$\sqrt{12}x + 6y - 12 = 0$
Bagi dengan 6:
$\frac{\sqrt{12}}{6}x + y - 2 = 0$
$\frac{2\sqrt{3}}{6}x + y - 2 = 0$
$\frac{\sqrt{3}}{3}x + y - 2 = 0$

Jarak dari titik $(x_1, y_1, z_1)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Dalam kasus ini, titik adalah A(0, 0, 0) dan bidangnya adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1y + 0z - 2 = 0$.
$A = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $B = 1$, $C = 0$, $D = -2$
$x_1 = 0$, $y_1 = 0$, $z_1 = 0$

$d = \frac{|(\frac{\sqrt{3}}{3})(0) + (1)(0) + (0)(0) - 2|}{\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 1^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{\frac{3}{9} + 1}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{3} + 1}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{\frac{4}{3}}}$
$d = \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$d = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$d = \sqrt{3}$

Jadi, jarak titik A ke bidang QB F adalah $\sqrt{3}$ cm.