Let f(x) = kx(1 - x) and assume that k > 0, show that the

Nilai a dan b dapat diturunkan dari sistem persamaan f(a) = b dan f(b) = a, yang mengarah pada persamaan kuadrat di mana a dan b adalah akarnya.

Pembahasan

Kita diberikan fungsi f(x) = kx(1 - x) dengan k > 0. Kita perlu menunjukkan bahwa nilai a dan b untuk f(a) = b dan f(b) = a diberikan oleh:
a = (1 + k + \sqrt{((k - 3)(k + 1))})/2k 
b = (1 + k - \sqrt{((k - 3)(k + 1))})/2k

Dari f(a) = b, kita punya ka(1 - a) = b.
Dari f(b) = a, kita punya kb(1 - b) = a.

Substitusikan b dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
kb(1 - b) = a
k(ka(1 - a))(1 - ka(1 - a)) = a
k^2a(1 - a)(1 - ka + ka^2) = a

Jika a = 0, maka f(0) = 0, sehingga b = 0. Ini adalah solusi trivial. Asumsikan a \neq 0, kita bisa membagi dengan a:
k^2(1 - a)(1 - ka + ka^2) = 1
k^2(1 - a - ka + ka^2 + ka - ka^2 + ka^3) = 1
k^2(1 - a - ka + ka^3) = 1
k^2 - k^2a - k^3a + k^3a^2 = 1
k^3a^2 - (k^2 + k^3)a + (k^2 - 1) = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam variabel a. Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk menemukan nilai a:
a = [-B \pm \sqrt{(B^2 - 4AC)}]/2A

Di sini, A = k^3, B = -(k^2 + k^3), C = (k^2 - 1).

B^2 = (k^2 + k^3)^2 = k^4(1 + k)^2
4AC = 4(k^3)(k^2 - 1) = 4k^3(k - 1)(k + 1)

B^2 - 4AC = k^4(1 + k)^2 - 4k^3(k - 1)(k + 1)
= k^3(1 + k) [k(1 + k) - 4(k - 1)]
= k^3(1 + k) [k + k^2 - 4k + 4]
= k^3(1 + k) [k^2 - 3k + 4]

Tampaknya ada kesalahan dalam penurunan atau soal asli karena hasil diskriminan tidak sesuai dengan formula yang diberikan. Mari kita coba pendekatan lain dengan mengamati simetri antara a dan b.

Jika f(a) = b dan f(b) = a, maka a dan b adalah akar dari persamaan x = f(f(x)).
f(f(x)) = k(kx(1-x))(1 - kx(1-x))

Kita juga bisa melihat bahwa jika a adalah solusi, maka b juga harus menjadi solusi, dan sebaliknya. Jika kita menganggap a dan b adalah akar dari persamaan kuadrat, maka:
a + b = -B/A
ab = C/A

Mari kita kembali ke persamaan awal: ka(1 - a) = b dan kb(1 - b) = a.
ka - ka^2 = b
kb - kb^2 = a

Kurangi kedua persamaan:
ka - ka^2 - (kb - kb^2) = b - a
ka - kb - ka^2 + kb^2 = b - a
k(a - b) - k(a^2 - b^2) = -(a - b)
k(a - b) - k(a - b)(a + b) = -(a - b)

Jika a \neq b, kita bisa membagi dengan (a - b):
k - k(a + b) = -1
k + 1 = k(a + b)
a + b = (k + 1)/k

Jumlahkan kedua persamaan:
ka - ka^2 + kb - kb^2 = a + b
k(a + b) - k(a^2 + b^2) = a + b

Kita tahu a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
Jadi, k(a + b) - k((a + b)^2 - 2ab) = a + b

Substitusikan a + b = (k + 1)/k:
k((k + 1)/k) - k(((k + 1)/k)^2 - 2ab) = (k + 1)/k
(k + 1) - k((k^2 + 2k + 1)/k^2 - 2ab) = (k + 1)/k
(k + 1) - (k^2 + 2k + 1)/k + 2kab = (k + 1)/k
(k + 1) - (k + 2 + 1/k) + 2kab = (k + 1)/k
(k + 1) - k - 2 - 1/k + 2kab = (k + 1)/k
-1 - 1/k + 2kab = (k + 1)/k
2kab = (k + 1)/k + 1 + 1/k
2kab = (k + 1 + k + 1)/k
2kab = (2k + 2)/k
ab = (k + 1)/k^2

Sekarang kita memiliki jumlah (a + b) dan hasil kali (ab). a dan b adalah akar dari persamaan kuadrat:
x^2 - (a + b)x + ab = 0
x^2 - ((k + 1)/k)x + (k + 1)/k^2 = 0
k^2x^2 - k(k + 1)x + (k + 1) = 0

Menggunakan rumus kuadrat:
x = [ -B \pm \sqrt{(B^2 - 4AC)} ] / 2A
x = [ k(k + 1) \pm \sqrt{(-k(k + 1))^2 - 4(k^2)(k + 1)} ] / (2k^2)
x = [ k(k + 1) \pm \sqrt{k^2(k + 1)^2 - 4k^2(k + 1)} ] / (2k^2)
x = [ k(k + 1) \pm \sqrt{k^2(k + 1)(k + 1 - 4)} ] / (2k^2)
x = [ k(k + 1) \pm \sqrt{k^2(k + 1)(k - 3)} ] / (2k^2)
x = [ k(k + 1) \pm k\sqrt{(k + 1)(k - 3)} ] / (2k^2)
x = [ (k + 1) \pm \sqrt{(k + 1)(k - 3)} ] / (2k)

Ini sesuai dengan formula yang diberikan untuk a dan b.

a = (1 + k + \sqrt{((k - 3)(k + 1))})/2k
b = (1 + k - \sqrt{((k - 3)(k + 1))})/2k