Tentukan hasil dari limit fungsi trigonometri: limit x ->

2

Pembahasan

Untuk menentukan hasil limit dari fungsi trigonometri $\lim_{x \to 1/2} \frac{\sin(4x-2)}{\tan(2x-1)}$, kita dapat menggunakan substitusi langsung atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Substitusi Langsung dengan Variabel Baru
Misalkan $y = 2x-1$. Ketika $x \to 1/2$, maka $y \to 2(1/2) - 1 = 1 - 1 = 0$.
Juga, $4x-2 = 2(2x-1) = 2y$.
Sehingga, limit tersebut menjadi:
$\lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y)}{\tan(y)}$

Kita tahu bahwa $\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$. Maka:
$\lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y)}{\frac{\sin(y)}{\cos(y)}} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y) \cos(y)}{\sin(y)}$

Menggunakan identitas $\sin(2y) = 2 \sin(y) \cos(y)$:
$\lim_{y \to 0} \frac{2 \sin(y) \cos(y) \cos(y)}{\sin(y)}$

Kita dapat membatalkan $\sin(y)$ (karena $y \to 0$, $\sin(y) \neq 0$):
$\lim_{y \to 0} 2 \cos(y) \cos(y) = \lim_{y \to 0} 2 \cos^2(y)$

Substitusikan $y = 0$:
$2 \cos^2(0) = 2(1)^2 = 2$.

Metode 2: Menggunakan Sifat Limit Trigonometri $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(au)}{bu} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(au)}{bu} = \frac{a}{b}$.
Kita ubah bentuk limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 1/2} \frac{\sin(4x-2)}{\tan(2x-1)}$

Kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan $(2x-1)$:
$\lim_{x \to 1/2} \frac{\frac{\sin(4x-2)}{2x-1}}{\frac{\tan(2x-1)}{2x-1}}$

Sekarang, perhatikan pembilang $\frac{\sin(4x-2)}{2x-1}$. Misalkan $u = 2x-1$, maka ketika $x \to 1/2$, $u \to 0$. Ekspresi menjadi $\frac{\sin(2u)}{u}$. Menggunakan sifat limit $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(au)}{bu} = \frac{a}{b}$, dengan $a=2$ dan $b=1$, hasilnya adalah $2/1 = 2$.

Perhatikan penyebut $\frac{\tan(2x-1)}{2x-1}$. Misalkan $u = 2x-1$, maka ketika $x \to 1/2$, $u \to 0$. Ekspresi menjadi $\frac{\tan(u)}{u}$. Menggunakan sifat limit $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(au)}{bu} = \frac{a}{b}$, dengan $a=1$ dan $b=1$, hasilnya adalah $1/1 = 1$.

Maka, hasil limitnya adalah $\frac{2}{1} = 2$.

Jawaban Singkat: Hasil limitnya adalah 2.