lim -> (4x cos x)/(sin 3x + sin x) = . . . .

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah: lim_{x->0} (4x cos x) / (sin 3x + sin x)

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit suatu fungsi berbentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan limit dari turunan pembilang dibagi dengan turunan penyebut.

Turunan dari pembilang (4x cos x) adalah:
d/dx (4x cos x) = (d/dx 4x) * cos x + 4x * (d/dx cos x)
= 4 * cos x + 4x * (-sin x)
= 4 cos x - 4x sin x

Turunan dari penyebut (sin 3x + sin x) adalah:
d/dx (sin 3x + sin x) = d/dx (sin 3x) + d/dx (sin x)
= 3 cos 3x + cos x

Langkah 2: Substitusikan turunan ke dalam limit.
lim_{x->0} (4 cos x - 4x sin x) / (3 cos 3x + cos x)

Langkah 3: Substitusikan x=0 ke dalam ekspresi yang telah diturunkan.
= (4 cos 0 - 4(0) sin 0) / (3 cos(3*0) + cos 0)
= (4 * 1 - 0) / (3 cos 0 + 1)
= 4 / (3 * 1 + 1)
= 4 / (3 + 1)
= 4 / 4
= 1

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1.