lim-> (sin^2 X /(x^2-5))

0

Pembahasan

Untuk mengevaluasi $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2 - 5}$, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat $x$ mendekati tak hingga.

Perhatikan bahwa $\sin x$ memiliki nilai antara -1 dan 1, sehingga $\sin^2 x$ akan memiliki nilai antara 0 dan 1.

Artinya, $0 \le \sin^2 x \le 1$ untuk semua nilai $x$.

Sekarang kita lihat penyebutnya, $x^2 - 5$. Saat $x \to \infty$, penyebut $x^2 - 5 \to \infty$.

Kita bisa menggunakan Teorema Apit (Squeeze Theorem). Kita tahu bahwa:
$\frac{0}{x^2 - 5} \le \frac{\sin^2 x}{x^2 - 5} \le \frac{1}{x^2 - 5}$ (dengan asumsi $x^2 - 5 > 0$, yang berlaku saat $x$ besar).

Sekarang, kita evaluasi limit dari batas bawah dan batas atas saat $x \to \infty$:
$\\lim_{x\to\infty} \frac{0}{x^2 - 5} = 0$
$\\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2 - 5}$ 
Karena penyebut $x^2 - 5$ menuju tak hingga saat $x \to \infty$, maka $\\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2 - 5} = 0$.

Karena limit dari batas bawah dan batas atas sama-sama bernilai 0, berdasarkan Teorema Apit, maka limit dari fungsi di tengah juga harus bernilai 0.

Jadi, $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2 - 5} = 0$.