lim x -> 0 (1-cos 8x)/(sin x tan 2x)=

Nilai limitnya adalah 16.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 8x}{\sin x \tan 2x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Pertama, gunakan identitas $1 - \cos(2A) = 2\sin^2 A$. Dalam kasus ini, $2A = 8x$, sehingga $A = 4x$. Maka, $1 - \cos 8x = 2\sin^2 4x$.

Kedua, gunakan identitas $\sin(2A) = 2\sin A \cos A$. Kita dapat menulis $\sin x$ dan $\tan 2x$ sebagai:
$\sin x = x$ (untuk $x \to 0$)
$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos 2x}$. Untuk $x \to 0$, $\cos x \to 1$ dan $\cos 2x \to 1$, jadi $\tan 2x \approx 2x$.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 4x}{x (2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 4x}{2x^2} $$ 
Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$. Kita bisa mengatur ulang ekspresi tersebut:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} \cdot \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 \right) \cdot \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 \right) $$ 
Karena $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$, maka:
$$ (1 \cdot 4) \cdot (1 \cdot 4) = 4 \cdot 4 = 16 $$ 
Jadi, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 8x}{\sin x \tan 2x} = 16$.