lim x->0 (4-4.cos2x)/(x^2) = ....

8

Pembahasan

Soal ini adalah soal limit fungsi.

Kita perlu mencari nilai dari lim x->0 (4 - 4.cos(2x)) / x^2.

Jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
lim x->0 (4 - 4.cos(0)) / 0^2 = (4 - 4*1) / 0 = 0/0.

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Maka, 4 - 4.cos(2x) = 4 - 4(1 - 2sin^2(x)) = 4 - 4 + 8sin^2(x) = 8sin^2(x).

Sehingga limitnya menjadi:
lim x->0 (8sin^2(x)) / x^2

Kita tahu bahwa lim x->0 (sin(x)/x) = 1.

Maka, limit dapat ditulis sebagai:
lim x->0 8 * (sin(x)/x)^2

Karena lim x->0 (sin(x)/x) = 1, maka (sin(x)/x)^2 = 1^2 = 1.

Jadi, nilai limitnya adalah 8 * 1 = 8.

Cara lain adalah menggunakan aturan L'Hopital karena kita mendapatkan bentuk 0/0.

Turunan dari pembilang (4 - 4cos(2x)) adalah -4(-sin(2x)*2) = 8sin(2x).
Turunan dari penyebut (x^2) adalah 2x.

Limit menjadi lim x->0 (8sin(2x)) / (2x).
Ini masih berbentuk 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunan dari 8sin(2x) adalah 8(cos(2x)*2) = 16cos(2x).
Turunan dari 2x adalah 2.

Limit menjadi lim x->0 (16cos(2x)) / 2.

Substitusikan x=0:
(16cos(0)) / 2 = (16 * 1) / 2 = 16 / 2 = 8.

Jadi, nilai dari lim x->0 (4-4.cos2x)/(x^2) adalah 8.