lim x->0 4 tan 5x/3x

20/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena ketika x mendekati 0, ekspresi tersebut menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x).

Dalam kasus ini, f(x) = 4 tan(5x) dan g(x) = 3x.
Turunan dari f(x) adalah f'(x) = 4 * sec^2(5x) * 5 = 20 sec^2(5x).
Turunan dari g(x) adalah g'(x) = 3.

Maka, limitnya menjadi:
lim x->0 (20 sec^2(5x)) / 3

Karena sec(0) = 1, maka sec^2(0) = 1.
Sehingga, limitnya adalah (20 * 1) / 3 = 20/3.

Cara lain adalah dengan menggunakan sifat limit trigonometri:
lim x->0 tan(ax)/bx = a/b

lim x->0 4 tan(5x) / 3x = (4/3) * lim x->0 tan(5x) / x
Kita bisa menulis ulang tan(5x)/x sebagai (tan(5x)/5x) * 5.
Jadi, limitnya menjadi:
(4/3) * lim x->0 (tan(5x)/5x) * 5
Karena lim x->0 tan(x)/x = 1, maka lim x->0 tan(5x)/5x = 1.

Sehingga, limitnya adalah (4/3) * 1 * 5 = 20/3.