lim x -> 0 ((8+h)^(1/3)-2)/h=...

1/12

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h}$, kita bisa menggunakan definisi turunan atau dengan mengalikan dengan konjugat.

Metode 1: Menggunakan Definisi Turunan
Definisi turunan dari suatu fungsi $f(x)$ di titik $a$ adalah $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Dalam kasus ini, kita bisa mengidentifikasi fungsi dan titiknya. Misalkan $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Kita ingin mencari turunan dari $f(x)$ di titik $a=8$.

$f(a) = f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$.

Jadi, limit tersebut adalah turunan dari $f(x) = x^{1/3}$ di $x=8$.

Langkah pertama adalah mencari turunan dari $f(x) = x^{1/3}$.
$f'(x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{2/3}}$

Sekarang, evaluasi $f'(8)$:
$f'(8) = \frac{1}{3(8)^{2/3}}$
$f'(8) = \frac{1}{3(\sqrt[3]{8})^2}$
$f'(8) = \frac{1}{3(2)^2}$
$f'(8) = \frac{1}{3(4)}$
$f'(8) = \frac{1}{12}$

Metode 2: Mengalikan dengan Konjugat (atau lebih tepatnya, faktor pembalik)
Kita perlu menghilangkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $h=0$.
Misalkan $y = \sqrt[3]{8+h}$. Maka $y^3 = 8+h$, sehingga $h = y^3 - 8$.
Saat $h \to 0$, $y = \sqrt[3]{8+0} = \sqrt[3]{8} = 2$.
Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{y \to 2} \frac{y-2}{y^3-8}$

Faktorkan penyebut menggunakan rumus selisih kubik ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$):
$y^3 - 8 = y^3 - 2^3 = (y-2)(y^2 + 2y + 4)$

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{y \to 2} \frac{y-2}{(y-2)(y^2 + 2y + 4)}$

Batalkan $(y-2)$ dari pembilang dan penyebut (karena $y \neq 2$ saat mendekati 2):
$\lim_{y \to 2} \frac{1}{y^2 + 2y + 4}$

Sekarang, substitusikan $y=2$:
$\frac{1}{2^2 + 2(2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{12}$.