Hasil bagi p(x)=(a-2b)x^3+(a + b)x^2+1 oleh (x-1) adalah

2

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan Teorema Sisa pada polinomial.

Diketahui p(x) dibagi (x-1) bersisa 1. Menurut Teorema Sisa, ini berarti p(1) = 1.
Diketahui q(x) adalah hasil bagi p(x) oleh (x-1). Jadi, p(x) = (x-1)q(x) + 1.

Selanjutnya, q(x) dibagi (x+2) bersisa -8. Menurut Teorema Sisa, ini berarti q(-2) = -8.

Sekarang kita substitusikan x = -2 ke dalam persamaan p(x) = (x-1)q(x) + 1:
p(-2) = (-2-1)q(-2) + 1
p(-2) = (-3)q(-2) + 1
Karena q(-2) = -8, maka:
p(-2) = (-3)(-8) + 1
p(-2) = 24 + 1
p(-2) = 25

Sekarang, kita perlu mencari nilai p(-2) dari bentuk polinomial p(x) = (a-2b)x^3 + (a+b)x^2 + 1.
Substitusikan x = -2:
p(-2) = (a-2b)(-2)^3 + (a+b)(-2)^2 + 1
p(-2) = (a-2b)(-8) + (a+b)(4) + 1
p(-2) = -8a + 16b + 4a + 4b + 1
p(-2) = -4a + 20b + 1

Kita sudah tahu bahwa p(-2) = 25, jadi:
25 = -4a + 20b + 1
24 = -4a + 20b
Bagi kedua sisi dengan 4:
6 = -a + 5b  (Persamaan 1)

Kita juga tahu bahwa p(1) = 1. Substitusikan x = 1 ke dalam p(x):
p(1) = (a-2b)(1)^3 + (a+b)(1)^2 + 1
p(1) = a - 2b + a + b + 1
p(1) = 2a - b + 1
Karena p(1) = 1, maka:
1 = 2a - b + 1
0 = 2a - b
b = 2a  (Persamaan 2)

Sekarang substitusikan Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1:
6 = -a + 5(2a)
6 = -a + 10a
6 = 9a
a = 6/9 = 2/3

Sekarang cari nilai b menggunakan Persamaan 2:
b = 2a
b = 2(2/3)
b = 4/3

Yang ditanyakan adalah a+b:
a + b = 2/3 + 4/3
a + b = 6/3
a + b = 2

Jadi, nilai a+b adalah 2.