Jika x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15=f(x)(x-1) dengan f(x) habis

8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep Teorema Sisa dan Teorema Faktor dalam polinomial. Diketahui bahwa $f(x) = x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 24x - 15$. Diketahui juga bahwa $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, yang berarti $(x-1)$ adalah faktor dari $f(x)$. Menurut Teorema Faktor, jika $(x-c)$ adalah faktor dari polinomial $f(x)$, maka $f(c) = 0$. Dalam kasus ini, $c=1$. Jadi, kita substitusikan $x=1$ ke dalam $f(x)$ dan samakan dengan 0:
$f(1) = (1)^4 + a(1)^3 + (b-10)(1)^2 + 24(1) - 15 = 0$
$1 + a + (b-10) + 24 - 15 = 0$
$1 + a + b - 10 + 24 - 15 = 0$
$a + b + (1 - 10 + 24 - 15) = 0$
$a + b + 0 = 0$
$a + b = 0$

Soal ini juga menyatakan bahwa $f(x) = g(x)(x-1)$, di mana $g(x)$ adalah suatu fungsi. Namun, informasi ini tidak secara langsung memberikan nilai $b$ tanpa mengetahui nilai $a$ atau fungsi $g(x)$.

Mari kita tinjau kembali soalnya. Teks soal asli adalah: 'Jika x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15=f(x)(x-1) dengan f(x) habis dibagi oleh (x-1), maka nilai b adalah ...'
Ini menyiratkan bahwa $f(x)$ yang ada di persamaan $x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15 = f(x)(x-1)$ adalah fungsi yang sama yang habis dibagi oleh $(x-1)$. Ini berarti $(x-1)$ adalah faktor dari $x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15$, dan karena $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, maka $(x-1)$ adalah faktor dari $f(x)$ juga.

Jika $(x-1)$ adalah faktor dari $f(x)$, maka $f(1)=0$. Dari persamaan $x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15 = f(x)(x-1)$, jika kita substitusikan $x=1$, maka sisi kanan menjadi $f(1)(1-1) = f(1) 	imes 0 = 0$. Jadi, sisi kiri juga harus bernilai 0 ketika $x=1$.

$1^4 + a(1)^3 + (b-10)(1)^2 + 24(1) - 15 = 0$
$1 + a + b - 10 + 24 - 15 = 0$
$a + b + (1 - 10 + 24 - 15) = 0$
$a + b + 0 = 0$
$a + b = 0$

Informasi bahwa $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$ memberikan kita informasi bahwa $(x-1)$ adalah faktor dari $f(x)$. Jika $f(x)$ dibagi oleh $(x-1)$ dan sisanya adalah 0, maka $f(1)=0$. 

Dari $x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15 = f(x)(x-1)$, kita bisa menganggap $f(x)$ sebagai hasil bagi ketika polinomial tersebut dibagi oleh $(x-1)$. Jika $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, maka $(x-1)$ adalah faktor dari $f(x)$. Ini berarti $(x-1)^2$ adalah faktor dari polinomial asli $x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15$.

Untuk menguji apakah $(x-1)^2$ adalah faktor, kita dapat menggunakan turunan. Jika $(x-1)^2$ adalah faktor, maka polinomial asli dan turunannya harus bernilai nol ketika $x=1$.

Polinomial asli: $P(x) = x^4+ax^3+(b-10)x^2+24x-15$
Kita sudah tahu $P(1)=0$, yang menghasilkan $a+b=0$ atau $b=-a$.

Turunan pertama dari $P(x)$ adalah: $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2(b-10)x + 24$
Substitusikan $x=1$ ke $P'(x)$ dan samakan dengan 0:
$P'(1) = 4(1)^3 + 3a(1)^2 + 2(b-10)(1) + 24 = 0$
$4 + 3a + 2b - 20 + 24 = 0$
$3a + 2b + 8 = 0$

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) $a + b = 0 
ightarrow a = -b$
2) $3a + 2b + 8 = 0$

Substitusikan $a = -b$ ke persamaan kedua:
$3(-b) + 2b + 8 = 0$
$-3b + 2b + 8 = 0$
$-b + 8 = 0$
$b = 8$

Jika $b=8$, maka $a = -b = -8$.

Jadi, nilai $b$ adalah 8.