lim x->0 (cos3x-cosx)/(x^2)=...

Limit dari (cos3x - cosx) / x^2 saat x mendekati 0 adalah -4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x->0 (cos3x-cosx)/(x^2), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x).

Mari kita turunkan pembilang dan penyebutnya:
f(x) = cos3x - cosx
f'(x) = -3sin3x - (-sin x) = -3sin3x + sinx

g(x) = x^2
g'(x) = 2x

Sekarang kita hitung limit dari f'(x)/g'(x):
lim x->0 (-3sin3x + sinx) / 2x

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0, jadi kita terapkan aturan L'Hopital sekali lagi:
f''(x) = -3(3cos3x) + cosx = -9cos3x + cosx
g''(x) = 2

Sekarang hitung limitnya:
lim x->0 (-9cos3x + cosx) / 2

Substitusikan x=0:
(-9cos(0) + cos(0)) / 2
(-9 * 1 + 1) / 2
(-9 + 1) / 2
-8 / 2
-4

Jadi, lim x->0 (cos3x-cosx)/(x^2) = -4.